Blatt 08 - Mathematik, TU Dortmund

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Sommersemester 2015
TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. M. Voit
Dipl. Math. S. Glaser
Dipl.-Wirt.Math. D. Kobe
Stochastik I
Blatt 8
Abgabe der Hausaufgaben:
Mittwoch, 27.05.2015, um 10.15 Uhr, im zugehörigen Briefkasten Ihrer
Übungsgruppe.
Aufgabe 1
(4 Punkte)
a) Es seien X eine R-wertige, N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariable und a, b ∈ R mit
a 6= 0. Zeigen Sie, dass aX + b ebenfalls normalverteilt ist, und bestimmen
Sie die passenden Parameter.
b) Es sei X eine N (1, 2)-verteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie anhand der
Tabelle auf der Homepage P (X ∈ [0, 2]).
(Achtung: Tabelle bezieht sich auf N (0, 1)!)
c) Für eine N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable X bestimme man die Dichte der
[0, ∞[-wertigen Zufallsvariablen eX .
Aufgabe 2
(6 Punkte)
p
Es sei P die Gleichverteilung auf dem Kreis K := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}.
Bestimmen Sie:
a) Die Wahrscheinlichkeit
p P (Kr ) für alle r ∈ [0, 1], wobei
2
Kr := {(x, y) ∈ R : x2 + y 2 ≤ r}.
b) Die Verteilungsfunktion FD der Zufallsvariablen D : K → R, welchen den
Abstand eines Punktes (x, y) ∈ K zum Mittelpunkt des Kreises beschreibe.
c) Die Dichte fD des Abstandes D aus Teilaufgabe c).
d) Die Verteilungsfunktion FW einer Zufallsvariablen W , welche den Winkel W
zwischen zwei Geraden G1 und G2 beschreibe, wobei
(i) G1 := {(x, y) ∈ R2 : y = 0} und
(ii) G2 den Mittelpunkt des Kreises mit einem zuvor zufällig gewählten
Punkt (x, y) ∈ K des Kreises verbinde.
e) Die Dichte fW des Winkels W aus Teilaufgabe d).
f) Entscheiden Sie, ob die obigen Zufallsvariablen D und W stochastisch unabhängig sind und begründen Sie ihre Antwort.
Aufgabe 3
(4 Punkte)
p
Es sei K := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} der Einheitskreis und S eine zufällige
Kreissehne in K. Es wird der Frage nachgegangen, wie groß die Wahrscheinlichkeit
für das Ereignis
√
A := { Die Sehnenlänge entspricht mindestens der Länge 3 d.h. der Seite eines
”
gleichseitigen Dreiecks mit Eckpunkten auf dem Rand von K“}
ist. Betrachten Sie dazu die beiden Modelle zur Konstruktion der zufälligen Kreissehne in a) und b) und geben Sie jeweils einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) an. Bestimmen Sie anschließend in beiden Fällen die Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses A.
a) Zunächst wird vorab ein beliebiger Randpunkt des Kreises als Anfangspunkt
P1 der Sehne festgelegt, welcher ebenso Eckpunkt des Dreiecks sei. Um die
Sehne zu zeichnen, wird nun zufällig, gleichverteilt ein weiterer Randpunkt
P2 ausgewählt.
b) Es wird der Durchmesser des Kreises zwischen den Punkten (0, −1) und
(0, 1) gezeichnet und das gleichseitige Dreieck gemäß der Skizze konstruiert.
Anschließend wird gleichverteilt ein Punkt des Durchmessers zufällig ausgewählt und von diesem aus jene Kreissehne konstruiert, welche orthogonal
zum Durchmesser steht.
Abbildung 1: Zufällige Kreissehnen (grün) und das gleichseitige Dreieck.
Aufgabe 4
(4 Punkte)
Es sei fn,p die Zähldichte die Binomialverteilung mit Parametern n und p.
a) Es seien n ∈ N und p ∈ (0, 1) gegeben. Zeigen Sie: Es gibt ein l ∈ N0 so dass
die Abbildung von N0 nach R definiert durch k 7→ fn,p (k) monoton wachsend
bis l ist und monoton fallend ab l ist. Bestimmen Sie l.
b) Für p =
1
2
bestimmen Sie
f2n, 1 (n)
√2
lim
.
n→∞
n
Aufgabe 5
(2 Punkte)
Es sei g : Ω → [0, ∞) und (gn )n∈N eine Folge monoton wachsender Funktionen mit
gn ∈ T r+ (Ω, A) so dass gn % g. Zeigen Sie die Eigenschaften (1) und (2) aus der
Vorlesung (vgl §5.5) für die Funktion g. Diese sind:
(1) g ∈ L1 (Ω, A, P ) ⇔
P
|g(x)| f (x) < ∞.
x∈Ω
(2) ∀g ∈ L1 (Ω, A, P ) :
R
Ω
g dP =
P
g(x)f (x) ∈ C.
x∈Ω
Die neuen Übungsblätter sowie weitere Information zur Veranstaltung
finden sich auf unserer Homepage:
www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2015Sommer/StochI/index.htm
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