Übungsserie 3 (Votierungswoche 31. Oktober

Übung 3
Mathematik III für Informatiker Wintersemester 2016/2017
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Prof. Dr. Alexander Pott,
Dr. Michael Höding
Aufgabe 3.1 An einem Rechnerpraktikum nehmen 100 Studenten teil, von
denen 55 Informatik und 45 Computervisualistik studieren. Zur Lösung einer Aufgabe können die Studenten zwei verschiedene Programme nutzen.
Für das erste Programm entscheiden sich 40 Computervisualisten und 20
Informatiker. Alle anderen wählen das zweite Programm.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein zufällig
ausgewählter Computervisualistikstudent für das erste Programm entscheidet.
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Informatikstudent das erste Programm benutzt.
(c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Benutzer des zweiten Programmes Informatik studiert.
Aufgabe 3.2 Eine Zufallsvariable
[0, 1] mit


0





0, 2
F (x) = 0, 4



0, 9




1
X habe die Verteilungsfunktion F : R →
für −∞ < x < 0
für
0 ≤ x < 23
3
.
für
2 ≤x<4
für
4≤x<7
für
7≤x<∞
(a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
(b) Berechnen Sie P (X ≥ 32 ) und P (−1 ≤ X ≤ 4).
(c) Bestimmen Sie den Median der Zufallsvariable X.
Aufgabe 3.3 Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Monat genügt folgender Verteilung:
Ausfälle xi
P (X = xi )
0
0, 5
1
0, 2
2
0, 1
3
0, 1
4
0, 1
>4
0
Der Ausfall des Servers verursacht verschiedene Kosten.
Der einmalige Ausfall des Servers kostet 1000 Euro. Fällt der Server zweimal
aus, so betragen die Kosten 1500 Euro. Bei drei- und viermaligem Ausfall
müssen jeweils 2000 Euro bezahlt werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 1000 Euro Kosten
im Monat wegen Ausfällen des Servers entstehen?
Aufgabe 3.4 Die Ausfallwahrscheinlichkeiten bezogen auf ein bestimmtes
Zeitintervall betragen für drei voneinander unabhängig arbeitende Computer
0, 1; 0, 2 bzw. 0, 3. Sei X die Zufallsvariable für die Anzahl der in diesem
Zeitraum ausfallenden Computer. Bestimmen Sie
(a) die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Verteilungsfunktion von X,
(b) die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Computer ausfallen,
(b) den Median der Zufallsvariable X.
Aufgabe 3.5 Wir führen das Zufallsexperiment “Zweimal hintereinander
würfeln” durch. Der Ereignisraum ist also
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Folgende drei Zufallsvariablen werden definiert:
X: Anzahl der Würfe, bei denen eine gerade Zahl geworfen wird.
Y : Anzahl der Würfe, bei denen eine Zahl ≥ 5 geworfen wird.
Z: Ergebnis des ersten Wurfes.
Geben Sie an, welche dieser Zufallsvariablen unabhängig sind und begründen
Sie Ihre Antwort.
Votierungswoche: 31.10. - 04.11.2016