Ubungsaufgaben zur Vorlesung Schätzen und Testen
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Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
WS 2011/2012
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. N. Gaffke
Dr. B. Leneke
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Schätzen und Testen
Blatt 2*
12. Die Statistiker der F ernruf AG gehen davon aus, dass die Dauer der Telefongespräche ihrer Kunden (gemessen in Minuten) exponential-verteilt mit Parameter
λ = 0.25 sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
(a) ein solches Gespräch höchstens 4 Minuten dauert,
(b) von vier (unabhängig geführten) Telefongesprächen höchstens 2 mehr als 4 Minuten dauern.
Die Gespräche werden in ganzen Einheiten abgerechnet. Jede angefangene Minute
zählt dabei als eine Einheit und kostet 0.5 Euro (Ausland). Welche W-Verteilung
ergibt sich
(c) für die Anzahl der Einheiten eines Gespräches,
(d) für die Kosten eines Auslandsgespräches.
13. Ein IQ-Test ist so normiert, dass das Testergebnis einer zufällig ausgewählten Person
normalverteilt mit µ = 100 und σ = 15 ist.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen
IQ-Wert von weniger als 90 hat?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen
IQ-Wert im Intervall [85; 115] hat?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen
IQ-Wert von mindestens 130 hat?
(d) Eine Person gehört beim Test zu den 1% Besten. Welcher IQ-Wert wird ihm/ihr
folglich mindestens zugewiesen?
(e) Wie groß ist unter 40 zufällig ausgewählten Personen die Wahrscheinlichkeit,
dass mehr als eine Person einen IQ-Wert von 130 oder mehr hat?
14. Die Zufallsvariable X sei R(a, b)-verteilt. Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.
15. Seien X eine Zufallsvariable mit Werten in {−1, 1} und Y eine Zufallsvariable mit
Werten in {2, 4, 5}, und es gelte: P (X = −1, Y = 2) = 0.1,
P (X = −1, Y = 5) = 0.3, P (X = −1) = 0.6, P (Y = 2) = 0.1,
P (Y = 4) = 0.4.
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(a) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y , d.h. alle Wahrscheinlichkeiten P (X = x, Y = y), x = −1, 1, y = 2, 4, 5. Berechnen Sie auch die
Verteilung von X und die Verteilung von Y .
(b) Sind X und Y unabhängig? (Begründung)
16. (a) Gegeben seien zwei Zufallsvariablen, die jeweils nur zwei mögliche Werte haben,
X : Ω → {x1 , x2 } und Y : Ω → {y1 , y2 }. Ergänzen Sie die folgende Verteilungstabelle unter der Voraussetzung, dass X und Y unabhängig sind.
X\Y
x1
x2
P (Y = yk )
y1
0.06
y2
P (X = xi )
0.1
0.9
(b) Seien X eine Zufallsvariable mit Werten in {0, 1, 2} und Y eine Zufallsvariable
mit Werten in {1, 2, 5} und ihre gemeinsame Verteilung (d.h. die Wahrscheinlichkeiten P (X = x, Y = y) für alle x, y)in der folgenden Tabelle gegeben.
X\Y
0
1
2
P (Y = yk )
1
0.1
0.2
0.1
2
0.1
0.3
0.1
5
0
0.1
0
P (X = xi )
Sind X, Y unabhängig? Sind X, Y unkorreliert? Zur letzteren Frage berechne
man die Verteilung der Zufallsvariablen XY und ihren Erwartungswert.
17. Eine reelle Zufallsvariable X habe die Dichtefunktion f : R → R,
0
für x < 2
f (x) =
ax−4 für x ≥ 2
mit einer gewissen Zahl a. Berechnen Sie a, ermitteln Sie die Verteilungsfunktion
und skizzieren Sie den dazugehörigen Graphen. Bestimmen Sie den Erwartungswert
und die Varianz der Zufallsvariablen X.
18. Eine Maschine füllt Zucker in Tüten ab, die ein Gewicht von 1 000 g haben sollen.
Das tatsächliche Gewicht X (in g) lässt sich auffassen als eine N (µ; σ)–verteilte
Zufallsvariable.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Sollgewicht um mehr als
15 g unterschritten wird, wenn
(i) µ = 1 000 und σ = 10
(ii) µ = 1 050 und σ = 11 ist?
(b) Wie groß darf bei µ = 1 000 die Standardabweichung σ höchstens sein, damit
P (950 ≤ X ≤ 1 050) ≥ 0.98 gilt?
(c) Gegeben sei σ = 10 (unabhängig von µ). Auf welchen µ–Wert darf die Maschine
höchstens eingestellt werden, damit P (X ≥ 1 020) ≤ 0.05 gilt?
* Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/SuT ws1112.html
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