Plasmaphysik II - Kernfusionsforschung Übung 4 (Besprechung am 03.06.2016) Aufgabe 4.1 (Grad-Shafranov Gleichung): Die Grad-Shafranov Gleichung (GS-Gleichung) ∆∗ ψ = −µ0 (2πR)2 ∂p ∂Ipol − µ20 Ipol ∂ψ ∂ψ beschreibt das magnetische Gleichgewicht in Anordungen mit toroidaler Symmetrie. Dabei ist ∂ ∆ ψ=R ∂R ∗ 1 ∂ψ R ∂R ! + ∂2ψ ∂z 2 Benutzen Sie ∂ψ = 2πRBz ∂R ; ∂ψ = −2πRBR ∂z ; Bφ = µ0 Ipol 2πR und leiten Sie aus dem Kräftegleichgewicht die GS-Gleichung in obiger Form her. Aufgabe 4.2 (Analytische Lösung der Grad-Shafranov Gleichung): Die Lösung der GS-Gleichung erfolgt in der Regel numerisch. Für Spezialfälle existieren auch analytische Lösungen. ∂I ∂p pol 4.2.1 Zeigen Sie unter der Annahme −µ0 4π 2 ∂ψ = A1 = const. und µ20 Ipol ∂ψ = A2 = const., dass eine Lösung der GS-Gleichung dargestellt werden kann durch ψ = ψ0 + P (R, z). Dabei soll ψ0 eine Lösung der Gleichung ∆∗ ψ = 0. Beschränken Sie sich bei der Suche nach einer Lösung für P (R, z) auf ein möglichst einfaches Polynom in R und z ohne gemischte Terme. 1 (A1 R − AR2 ). (Solovev-Gleichgewicht) Zeigen Sie außerdem, dass gilt jφ = − 2πµ 0 Vs Vs 4.2.2 Es sei A1 = 1 m 4 und A2 = −1 m2 . Skizzieren Sie (wenn möglich mit Hilfe eines Computerprogramms) für die Lösung aus 4.2.1 den Verlauf von Linien in der R,z-Ebene (im Bereich −3 m < z, R < 3m) entlang derer ψ konstant ist für den Fall, dass ψ0 = 0. Da ψ0 die homogene Lösung der GS-Gleichung ist, resultiert es aus den Vakuumfeldern. Verändert sich die Vs Topologie der Linien für den Fall, dass ψ0 = −C0 R2 mit C0 = 1 m 2 ? Skizzieren Sie (wenn möglich mit Hilfe eines Computerprogramms) den Verlauf der Linien! Wie sieht ein Magnetfeld aus, das ein derartiges ψ0 erzeugt? 4.2.3 Betrachten Sie nun wieder die allgemeine GS-Gleichung und nehmen Sie an dass jφ = 0. Welche Form nimmt die GS-Gleichung demnach an? Wie sieht für diesen Fall der Verlauf von Linien in der R,z-Ebene aus entlang derer ψ konstant ist?