Theoretische Informatik: Logik

Theoretische Informatik: Logik
WS 2012/2013
Blatt 4
bis Montag, den 17.12.2012, 1415 Uhr, im Kasten neben den Postfächern
(bei Raum 0409, Fachschaft)
Es ist grundsätzlich erwünscht, dass die Übungsaufgaben in Gruppen (ca. 3-4 Studenten) bearbeitet werden, jedoch soll jeder seine Lösung selbst aufschreiben. Bitte schreiben Sie auf jedes
Blatt Ihrer Lösung Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer, Ihre Übungsgruppe und die Namen
Ihrer Kommilitonen, welche an den Lösungen mitgearbeitet haben. Geben Sie bitte alle in
einem Team erstellten Lösungen zusammengeheftet und die Lösungen nach Aufgaben getrennt ab.
Abgabe:
AUFGABE 1. Begründen Sie, ob die folgenden Formeln jeweils (un)erfüllbar oder allgemeingültig sind.
1. ∃x∀yE(x, y) ∧ ∃y∀x¬E(x, y)
2. (∀x x < x + y) ∧ (∀x x < x · z) → ∀x x < x + y ∧ x < x · y
.
3. ∃y ¬x = y ∧ ∀z E(f (x), z)
AUFGABE 2. Sei ϕ = ∀y. (∃xE(x, y)) ∨ (¬∃xE(x, y)).
(a) Überführen Sie ϕ in eine Skolem-Normalform ψ nach dem in der Vorlesung vorgestellten
Verfahren.
(b) Finden Sie eine passende Interpretation I, die kein Modell für ψ ist (d.h. I 2 ψ)?
Die folgenden Aufgaben sind nicht abzugeben. Mögliche Lösungen werden im Rahmen der Übung in Kleinsgruppen besprochen. Befassen Sie sich daher vorher mit
den Aufgaben, um Lösungsansätze konstruktiv diskutieren zu können.
PRÄSENZAUFGABE 1.
• Geben Sie jeweils eine Regel für (→− ) und (→+ ) im Modellüberprüfungskalkül an.
• Werten Sie die Formel
ϕ = ∀x.¬P (x, f (y)) → ∃y¬P (x, y)
in der Interpretation I = ((N, >, +2), {y 7→ 0}) aus. Nutzen Sie hierfür das Modellüberprüfungskalkül.
PRÄSENZAUFGABE 2. (a) Zeigen Sie, dass es für jede Signatur τ eine Signatur τ 0 gibt,
die nur Relationssymbole enthält, so dass für jede FO[=, τ ]-Formel ϕ eine FO[=, τ 0 ]-Formel ϕ0
existiert mit ϕ ≡sat ϕ0 . Hinweis: Eine n-stellige Funktion kann als spezielle (n + 1)-stellige
Relation angesehen werden. Außerdem kann man in Prädiketenlogik mit Gleichheit ausdrücken,
dass eine (n + 1)-stellige Relation sich wie eine n-stellige Funktion verhält.
(b) In der Vorlesung wird gezeigt werden, dass das Erfüllbarkeitsproblem für FO[τ ] unentscheidbar ist, wenn τ mindestens folgendes enthält: ein 2-stelliges Relationssymbol sowie zwei 1-stellige
und ein 0-stelliges Funktionssysmbol. Was können Sie diesbezüglich über das Erfüllbarkeitsproblem für FO[=, τ ] aussagen, wenn τ nur Relationssymbole enthält?