¨Ubungen zur Vorlesung ,,Mathematische Grundlagen der

Übungen zur Vorlesung
,,Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik“
SoSe 2010
Michaela Geierhos
Mengen und Mengenoperationen (Teil 1)
Musterlösung zu Blatt 1 vom 19.04.2010
Aufgabe 1.1 Geben Sie eine Schachteldarstellung der folgenden Mengen an und nennen Sie jeweils die Zahl der
Elemente.
(a) {1, 2, {1, {1, 2}}, {2, {1, 2}}}
(c) {{1}, {{1}, {{1}, 1}}}
(a)
{1, 2, {1, {1, 2}}, {2, {1, 2}}}
(b) {{1}, {{1}}, {{{1}}}}
(d) {∅, {{{∅, {{{∅, {{∅}}}}}}}}}.
enthält 4 (verschiedene) Elemente.
12 1 12
2 12
(b) {{1}, {{1}}, {{{1}}}}
enthält 3 (verschiedene) Elemente.
1
1
1
{{1}, {{1}, {{1}, 1}}}
enthält 2 (verschiedene) Elemente.
1
1
1 1
(c)
(d) {∅, {{{∅, {{{∅, {{∅}}}}}}}}}
enthält 2 (verschiedene) Elemente.
(4 Punkte)
Aufgabe 1.2 Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Zahlen sollen hierbei nicht als
Mengen aufgefasst werden. Begründen Sie Ihre Entscheidung kurz und geben Sie mögliche Korrekturvorschläge
an.
(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
(k)
{1} ⊂ {1}
4 6∈ {5, 1, 3}
{∅} ⊂ IN
{{∅}} ⊂ {∅, {{∅}}}
IN = IN ∪ {0, 1, 2}
5 ∈ {5, 1, 3} \ {5}
(b)
(d)
(f)
(h)
(j)
(l)
1 ∈ {5, 1, 3}
{2, 4, 6} ⊂ IN
{∅} ⊆ {∅, {∅}}
IN ∈ {IN}
IN ⊂ IN ∪ {IN}
{5, 3} ∈ {5, 1, 3} \ {1}.
(a) Falsch. {1} ⊆ {1} , da {1} = {1} und |1| ≮ |1| =⇒ {1} 6⊂ {1}
(b) Richtig. 1 ist Element der Menge {5,1,3}.
(c) Richtig. 4 ist nicht Element der Menge {5,1,3}.
(d) Richtig. {2,4,6} ist eine echte Teilmenge von IN, da |{2, 4, 6}| < ∞ =⇒ 3 < ∞
(e) Falsch. Es gilt zwar ∅ ⊆ IN, jedoch {∅} 6⊂ IN, da ∅ kein Element der Menge IN ist.
(f) Richtig. {∅} ⊆ {∅, {∅}}
(g) Falsch. {{∅}} 6⊂ {∅, {{∅}}}
(h) Richtig. IN ∈ {IN} =⇒ IN 6⊆ {IN}
(i) Richtig, wenn 0 ∈ IN gilt. Falsch, wenn 0 6∈ IN gilt.
(j) Richtig. Die Menge IN ∪ {IN} enthält ein Element mehr als die Menge IN, also handelt es sich um eine echte
Teilmenge.
(k) Falsch. 5 6∈ {5, 1, 3} \ {5} =⇒ 5 6∈ {1, 3}
(l) Falsch. {5, 3} ⊆ {5, 1, 3} \ {1} =⇒ {5, 3} ⊆ {5, 3}
(12 Punkte)
Aufgabe 1.3 Es sei a = b. Wie kann man die Menge
{{{a}, {{a}, {b}}}, {{{b, a}}, {{b}, {a}}, {b}}}
möglichst einfach darstellen?
{{{a}, {{a}, {b}}}, {{{b, a}}, {{b}, {a}}, {b}}} =
{{{a}, {{a}, {a}}}, {{{a, a}}, {{a}, {a}}, {a}}} =
{{{a}, {{a}}}, {{{a}}, {{a}}, {a}}} =
{{{a}, {{a}}}, {{{a}}, {a}}1 } =
{{{a}, {{a}}}, {{a}, {{a}}}} =
{{{a}, {{a}}}}
Indem wir b durch a ersetzen (wegen a = b) und Mehrfachvorkommen desselben Elements nicht zulassen, lässt
sich die Ausgangsmenge auf die Menge {{{a}, {{a}}}} zurückführen.
(5 Punkte)
Aufgabe 1.4 Geben Sie alle Mengen B an, so dass {1, 2} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Es ergeben sich folgende Mengen B: {3, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(4 Punkte)
Aufgabe 1.5 Gegeben seien folgenden Mengenpaare:
{1, 2, 3}
{0, 2, 3, 5}
{∅, {∅}}
und {2},
und {5, 0, 1, 7},
und {∅},
Berechnen Sie jeweils Vereinigung, Durchschnitt, symmetrische Differenz und (beide) Differenzen.
{1, 2, 3} ∪ {2} = {1, 2, 3}
{1, 2, 3} ∩ {2} = {2}
{1, 2, 3} \ {2} = {1, 3}
{2} \ {1, 2, 3} = ∅
{1, 2, 3} ./ {2} = {1, 3}
{0, 2, 3, 5} ∪ {5, 0, 1, 7} =
{0, 1, 2, 3, 5, 7}
{0, 2, 3, 5} ∩ {5, 0, 1, 7} = {0, 5}
{0, 2, 3, 5} \ {5, 0, 1, 7} = {2, 3}
{5, 0, 1, 7} \ {0, 2, 3, 5} = {1, 7}
{0, 2, 3, 5} ./ {5, 0, 1, 7} = {1, 2, 3, 7}
{∅, {∅}} ∪ {∅} = {∅, {∅}}
{∅, {∅}} ∩ {∅} = {∅}
{∅, {∅}} \ {∅} = {{∅}}
{∅} \ {∅, {∅}} = ∅
{∅, {∅}} ./ {∅} = {{∅}}
(15 Punkte)
1 Die
Elementreihenfolge wird geändert, was in einer Menge laut Defintion zulässig ist.
Aufgabe 1.6 Für welche der folgenden Gleichungen gibt es keine, genau eine, endlich viele, für welche gibt es
unendlich viele Lösungen B? Wie lassen sich jeweils die möglichen Mengen B charakterisieren?
{1, 2, 3} ∩ B
=
{1, 2, 3, 4},
{1, 2, 3} ∩ B
{1, 2, 3, 4, 5} \ B
= {1, 2},
= {1, 2},
B \ {1, 2, 3}
= {4, 5},
B ./ {1, 2, 3}
= {1}.
{1, 2, 3} ∩ B = {1, 2, 3, 4} =⇒ Keine Lösung für B, weil laut Definition der Schnittmenge nur Elemente im
Durchschnitt beider Menge vorkommen können, welche in beiden Mengen enthalten sind. Da 4 6∈ {1, 2, 3} gilt,
gibt es keine Menge B, welche diese Aussage wahr machen kann.
{1, 2, 3} ∩ B = {1, 2} =⇒ Unendlich viele Lösungen für B, jedoch muss B die Elemente 1 und 2 enthalten, darf aber nicht 3 als Element haben. Alle weiteren Elemente sind beliebig und es kann weitere geben, muss es
aber nicht. ( {1, 2} ⊆ B und 3 6∈ B, also ist B = {x ∈ IN|x 6= 3}, wenn die Null nicht Teil der natürlichen Zahlen ist.)
{1, 2, 3, 4, 5} \ B = {1, 2} =⇒ Unendlich viele Lösungen für B, wobei B die Elemente 3,4 und 5 enthalten muss, und gleichzeitig 1 und 2 nicht in der Menge B sein dürfen. Alle weiteren Elemente sind beliebig und es
kann weitere geben, muss es aber nicht. ( {1, 2} 6⊆ B und {3, 4, 5} ⊆ B, also ist B = {x ∈ IN|x 6= 1 ∧ x 6= 2}, wenn
die Null nicht Teil der natürlichen Zahlen ist.)
B \ {1, 2, 3} = {4, 5} =⇒ Endlich viele Lösungen für B, denn B muss die Elemente 4 und 5 und darf die
Elemente 1, 2 und 3 enthalten. Aber es dürfen keine weiteren Elemente in B vorkommen. D.h. B = {4, 5} oder
B = {3, 4, 5} oder B = {2, 4, 5} oder B = {1, 4, 5} oder B = {2, 3, 4, 5} oder B = {1, 3, 4, 5} oder B = {1, 2, 4, 5}
oder B = {1, 2, 3, 4, 5}.
B ./ {1, 2, 3} = {1} =⇒ Genau eine Lösung für B, nämlich B = {2, 3}.
(10 Punkte)
Aufgabe 1.7 Es seien A und B Mengen. Unter welcher Voraussetzung gilt (A \ (B \ A)) = ((A \ B) \ A)?
Sei A = ∅:
(A \ (B \ A)) = ((A \ B) \ A)
(∅ \ (B \ ∅)) = (∅ \ B) \ ∅)
(∅ \ B) = (∅ \ ∅)
∅=∅
(4 Punkte)
Zu erreichende Gesamtpunktzahl : 54 Punkte.