¨Ubung zu ,,Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Übung zu
,,Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik“
SoSe 2010
Michaela Geierhos
Mengenlehre (Ausgewählte Aufgaben)
Musterlösung vom 20.04.2010
Aufgabe 1.1 Geben Sie eine kompakte Darstellung der Menge aller natürlichen Zahlen, die sich als
Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen (keine Diagramme!).
Eine mögliche Darstellung dieser Menge ist
{n ∈ IN | ∃k, l ∈ IN: n = k 2 + l2 }.
Aufgabe 1.2 Für n ∈ IN sei An := {n}. Wie sieht die Menge {An | n ∈ IN} aus? (keine Diagramme!)
{{n} | n ∈ IN} (und nicht etwa {n | n ∈ IN}).
Aufgabe 1.3 Seien folgende Mengen A, B, C, D, E, F und G mit
A = {a, b, c, 2, 3, 4}
B = {a, b}
C = {c, 2}
D = {b, c}
E = {a, b, {c}}
F =∅
G = {{a, b}, {c, 2}}
gegeben.
(a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
Richtig
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
c∈F ⇔c∈∅
{c} ∈ E ⇔ {c} ∈ {a, b, {c}}
(C ∪ D) ⊂ A ⇔ {b, c, 2} ⊂ {a, b, c, 2, 3, 4}
B ∪ D = E ⇔ {a, b, c} = {a, b, {c}}
F ⊆ A ⇔ ∅ ⊆ {a, b, c, 2, 3, 4}
B 6∈ G ⇔ {a, b}6∈{{a, b}, {c, 2}}
E\B ⊆ C ⇔ {{c}} ⊆ {c, 2}
(E ∩ D) ⊆ (F ∪ B) ⇔ {b} ⊆ {a, b}
Falsch
x
x
x
x
x
x
x
x
(b) Für welche der folgenden Gleichungen gibt es keine, genau eine, endlich viele, für welche gibt es
unendlich viele Lösungen X? Wie lassen sich jeweils die möglichen Mengen X charakterisieren?
A ∩ X = C,
B ∩ X = E,
X \ C = B,
A \ X = D,
X ./ G = F.
{a, b, c, 2, 3, 4} ∩ X = {c, 2} =⇒ Unendlich viele Lösungen für X, jedoch muss X die Elemente
c und 2 enthalten, darf aber nicht a, b, 3 und 4 als Elemente haben. Alle weiteren Elemente sind
beliebig und es kann weitere geben, muss es aber nicht. ({c, 2} ⊆ X und {a, b, 3, 4} 6⊆ X, also ist
X = {x|x ∈ (IN ∪ Σ)\{a, b, 3, 4}}, wenn die Null nicht Teil der natürlichen Zahlen ist.)
{a, b} ∩ X = {a, b, {c}} =⇒ Keine Lösung für X, da laut Definition der Schnittmenge nur Elemente im Durchschnitt beider Menge vorkommen können, welche in beiden Mengen enthalten sind. Da
{c} 6∈ {a, b} gilt, gibt es keine Menge X, welche diese Aussage wahr machen kann.
X \ {c, 2} = {a, b} =⇒ Endlich viele Lösungen für X, denn X muss die Elemente a und b und
darf die Elemente c und 2 enthalten. Aber es dürfen keine weiteren Elemente in B vorkommen. D.h.
X = {a, b} oder X = {a, b, c} oder X = {a, b, 2} oder X = {a, b, c, 2}.
{a, b, c, 2, 3, 4} \ X = {b, c} =⇒ Unendlich viele Lösungen für X, wobei X die Elemente a, 2, 3
und 4 enthalten muss, und gleichzeitig b und c nicht in der Menge X sein dürfen. Alle weiteren Elemente
sind beliebig und es kann weitere geben, muss es aber nicht. ({b, c} 6⊆ X und {a, 2, 3, 4} ⊆ X, also ist
X = {x ∈ IN ∪ Σ|x 6∈ {b, c} ∧ x ∈ {a, 2, 3, 4}}, wenn die Null nicht Teil der natürlichen Zahlen ist.)
X ./ {{a, b}, {c, 2}} = ∅ =⇒ Genau eine Lösung für X, nämlich X = {{a, b}, {c, 2}} = G (vgl.
Lemma der symmetrischen Differenz, Folienskript Seite 23).
Aufgabe 1.4 Gegeben seien folgenden Mengenpaare:
{1, 2, 3}
{{∅, {∅}}}
und {2, 3, 4},
und {{∅}}.
Berechnen Sie jeweils Vereinigung, Durchschnitt, symmetrische Differenz und (beide) Differenzen.
{1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}
{1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1}
{2, 3, 4} \ {1, 2, 3} = {4}
{1, 2, 3} ./ {2, 3, 4} = {1, 4}
{{∅, {∅}}} ∪ {{∅}} = {{∅, {∅}}, {∅}}
{{∅, {∅}}} ∩ {{∅}} = ∅
{{∅, {∅}}} \ {{∅}} = {{∅, {∅}}}
{{∅}} \ {{∅, {∅}}} = {{∅}}
{{∅, {∅}}} ./ {{∅}} = {{∅, {∅}}, {∅}}
Aufgabe 1.5 (Vereinigung und Schnitt von Mengenfamilien)
Sei A die Menge {{1, {1, b}}, {b, {{1}, {b}}, {1}, 1}, {1}}.
T
1. Welche Elemente hat die Menge A?
\
A = {1}
Begründung:
\
{{1, {1, b}}, {b, {{1}, {b}}, {1}, 1}, {1}} =
{1, {1, b}} ∩ {b, {{1}, {b}}, {1}, 1}) ∩{1} =
{1} ∩ {1} =
{1}
S
2. Welche Elemente hat die Menge A?
[
A = {1, b, {1, b}, {{1}, {b}}, {1}}
Begründung:
[
{{1, {1, b}}, {b, {{1}, {b}}, {1}, 1}, {1}} =
{1, {1, b}} ∪ {b, {{1}, {b}}, {1}, 1}) ∪{1} = 1
{1, b, {1, b}, {{1}, {b}}, {1}}∪{1} = 2
{1, b, {1, b}, {{1}, {b}}, {1}}
Aufgabe 1.6 (Potenzmengenbildung)
Geben Sie die folgenden Potenzmengen an:
(a) Es sei M = {a, b, c}. Geben Sie P(M ) an.
P(M ) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}
(b) Es sei M = ∅. Geben Sie P(M ) an.
P(M ) = {∅}
1
Doppelt vorkommende Elemente, welche nur einfach in die Vereinigungsmenge übernommen werden, werden unterstrichen hervorgehoben.
2
{1} ⊂ {1, b, {1, b}, {{1}, {b}}, {1}} ⇔ 1 ∈ {1, b, {1, b}, {{1}, {b}}, {1}} ∧ 1 ∈ {1}