§1 Mengen und Aussagen

Mathematik für Physiker I, WS 2010/2011
Montag 25.10
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§1
Mengen und Aussagen
Der wichtigste Grundbegriff der Mathematik ist der Begriff einer Menge, und wir
wollen damit beginnen die klassische, 1878 von Cantor gegebene Definition zu zitieren:
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente von M genannt werden, zu einem Ganzen.
Eine Menge fasst also einige bereits vorhandene Objekte zu einem neuen Ganzen zusammen. Wir werden nur Mengen betrachten, deren Elemente allesamt mathematische
”
Objekte“ sind, also beispielsweise Zahlen. Sind M eine Menge und x irgendein mathematisches Objekt, so schreiben wir x ∈ M für x ist ein Element von M“ und x ∈
/M
”
für x ist kein Element von M“. Wir listen jetzt einige Beispiele von Mengen auf:
”
1. Die Menge M , die die drei Elemente 1, 2, 3 hat, kann man als
M = {1, 2, 3}
schreiben. Man setzt also die vorgesehenen Elemente der Menge in ein Paar geschweifter Klammern.
2. Es ist auch erlaubt in den geschweiften Klammern dasselbe Objekt mehrfach
aufzulisten
M = {1, 1, 2, 3} = {1, 2, 3}.
Ein Objekt ist entweder Element einer Menge oder nicht, so etwas wie eine
mehrfache Mitgliedschaft in einer Menge gibt es nicht. Im diesem Beispiel ist es
natürlich nicht besonders sinnvoll die Eins zweimal hinzuschreiben, man ist sogar
versucht so etwas ganz zu verbieten. Das wäre allerdings hochgradig unpraktisch.
Nehmen wir einmal an, wir hätten drei reelle Zahlen a, b, c gegeben, von denen
wir sonst nichts wissen. Es könnten also insbesondere Gleichheiten zwischen diesen Zahlen auftreten, etwa a = b 6= c. Wollen wir dann die Menge M mit den
Elementen a, b, c hinschreiben und bestünden bei {. . .} auf verschiedene Objekte
in den Klammern, so bräuchten wir eine Definition wie ist a = b = c, so sei
”
M = {a}, ist a = b 6= c, so sei M = {a, c}, . . .“, und so weiter bis alle Möglichkeiten für Gleichheiten zwischen a, b, c aufgelistet sind. Erlauben wir dagegen
Wiederholungen bei {. . .}, wie wir es tun, so kann man einfach M = {a, b, c}
schreiben.
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3. Mengen können auch unendlich viele Elemente haben. Als ein Beispiel einer solchen Menge haben wir etwa die Menge aller natürlichen Zahlen. Für diese Menge
gibt es ein nur für sie reservietes Symbol
N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Man muss leider etwas aufpassen, da es auch eine alternative Definition gibt bei
der die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählt, also N = {1, 2, 3, . . .}. Braucht
man dann doch einmal die Null dabei, so verwendet man N0 für die natürlichen
Zahlen mit Null. Welche der beiden Konventionen man verwendet, also mit oder
ohne Null, ist eine Geschmacksfrage, in der Literatur und in Lehrbüchern ist
beides anzutreffen. Wir wollen in dieser Vorlesung durchgängig die Variante mit
eingeschlossener Null verwenden.
4. Als nächstes Beispiel wollen wir die Menge M aller geraden natürlichen Zahlen
hinschreiben. Eine naheliegende Schreibweise hierfür ist
M = {0, 2, 4, 6, 8, . . .}.
Eine derartige Pünktchen-Schreibweise“ muss man aber sehr sparsam verwen”
den, es muss wirklich unmissverständlich und ohne jeden Spielraum klar sein
wofür die Auslassungspunkte stehen. Beispielsweise kann man bei der Menge
N = {1, 7, 289, . . .} bestenfalls raten was damit gemeint sein soll, und so etwas
geht auch nicht als sinnvolle Mengenbeschreibung durch. Eine pünktchenfreie“
”
alternative Beschreibung der Menge M der geraden Zahlen kann man durch Parametrisierung der Elemente erhalten. Eine gerade natürliche Zahl ist ja definitionsgemäß eine Zahl die man als 2 · n für eine andere natürliche Zahl n schreiben
kann, und durchläuft n die natürlichen Zahlen, so durchläuft 2 · n die geraden
Zahlen. Dies führt auf die Schreibweise
M = {2n|n ∈ N}.
5. Die Schreibweise des vorigen Beispiels kann man jetzt auch auf kompliziertere
Situationen ausdehnen. Als ein Beispiel wollen wir einmal die Menge M aller
natürlichen Zahlen hinschreiben, die sich als eine Summe von zwei Quadraten
schreiben lassen. Diese Zahlen haben die Form a+b wobei a, b zwei Quadratzahlen
sind. Die Quadratzahlen kann man ihrerseits wieder als a2 mit a ∈ N erhalten,
und es ergibt sich
M = {a2 + b2 |a, b ∈ N}
als eine einfache Art die Menge M anzugeben.
6. Bisher haben wir in all unseren Beispielen immer Zahlen als Elemente einer Menge
verwendet. Allgemeine Mengen dürfen aber auch kompliziertere Elemente haben,
etwa Punkte, Geraden, Kreise oder auch andere Mengen. Ein Beispiel hierfür ist
M = {{1, 2}, {3, 4}, 5}.
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Dies ist eine Menge mit drei Elementen, und nicht etwa mit fünf, und diese drei
Elemente sind
M = {{1, 2}, {3, 4}, |{z}
5 },
| {z } | {z }
1
2
3
also die Menge {1, 2} mit den beiden Elementen 1 und 2, dann die Menge {3, 4}
und schließlich die Zahl 5.
7. Ein letztes Beispiel ist die Menge
M = {{1}}.
Dies ist eine Menge mit einem einzelnen Element, aber dieses Element ist nicht
die Zahl Eins, sonderm die Menge {1}, deren einziges Element 1 ist.
Nachdem wir jetzt einige Beispiele von Mengen kennen, wollen wir eine erste wichtige
Definition einführen:
Definition 1.1 (Teilmengen einer Menge)
Eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N , wenn jedes Element von M auch ein
Element von N ist. In diesem Fall schreiben wir M ⊆ N .
Ist eine Menge M keine Teilmenge einer Menge N , so wird dies mit dem Symbol
M 6⊆ N notiert. Die Schreibweise M ⊆ N für die Teilmengenbeziehung wird leider
nicht einheitlich von allen Autoren verwendet, oftmals finden Sie auch M ⊂ N anstelle
von M ⊆ N . Einige Beispiele von Teilmengen sind:
1. Es ist
{1, 2} ⊆ {1, 2, 3}
denn die beiden Elemente 1 und 2 der linken Menge sind auch Elemente der
rechten Menge.
2. Es ist auch
{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}.
Allgemein ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Will man dies nicht
haben, so spricht man von einer echten Teilmenge, d.h. eine Menge M ist eine
echte Teilmenge der Menge N wenn M ⊆ N und M 6= N ist, und wir schreiben
M ( N für M ist eine echte Teilmenge von N“. Oftmals wird anstelle von
”
M ( N aber auch die alternative Schreibweise M ⊂ N verwendet, was etwas
unglücklich ist da dies von anderen wieder als die normale Teilmengenbeziehung
interpretiert wird. Die beiden Symbole ⊆“ und (“ sind unmißverständlich,
”
”
während ⊂“ je nach Autor Teilmenge“ oder echte Teilmenge“ bedeuten kann.
”
”
”
Das ist verwirrend, aber es ist leider so.
3. Dagegen ist
{1, {2}} 6⊆ {1, 2, 3},
denn die einelementige Menge {2} ist zwar ein Element der linken aber kein
Element der rechten Menge.
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Wir wollen auch noch eine weitere Anmerkung zu Definition 1 bringen. Dass wir diese
als Definition bezeichnet und numeriert haben, die Cantorsche Definition einer Menge
aber nicht, ist kein Versehen sondern gewollt. Letztere ist nämlich keine Definition
im mathematischen Sinne. Im normalen Sprachgebrauch gibt es verschiedene Sorten
von Definitionen, und die einfachste Art einer Definition ist die Verabredung einer
Abkürzung. Dass beispielsweise LS17“ für Leipnitz Straße 17“ stehen soll ist eine
”
”
rein willkürliche Abkürzung. Will man dagegen definieren was ein Auto ist, so gibt
es ja nach intendierten Verwendungszweck verschiedene Definitionen. Ob man zum
Beispiel ein Auto mit drei Rädern aber ohne Motor als Auto bezeichnen will hängt
davon ab worum es gerade geht. Eine Definition beschreibt hier ein real vorhandenes
Objekt und dient nur dazu die gerade relevanten Aspekte dieses Objekts zu benennen.
In der Mathematik sind alle Definitionen Verabredungen von Abkürzungen. Der Begriff
einer Teilmenge ist nicht strikt nötig, anstelle von M ⊆ N“ könnte man genauso gut
”
jedes Element von M ist auch ein Element von N“ sagen. Bevor das Wort Teilmenge“
”
”
definiert wurde gab es keinen Teilmengenbegriff, Autos dagegen gibt es völlig egal ob
man eine Definition von Auto hat oder nicht.
Mathematische Definitionen führen also immer einen neuen Begriff in Termen bereits vorhandener Begriffe ein. Die Cantorsche Mengendefinition ist nicht von dieser
Art, da sie ihrerseits auf weitere noch nicht definierte Begriffe, wie Objekte unse”
rer Anschauung“, Zusammenfassung“ und so weiter, verweist. So etwas ist leider auch
”
nötig, mit mathematischen Definitionen alleine kommt man nicht aus. Wenn jeder neue
Begriff nur in Termen bereits vorhandener Begriffe eingeführt werden kann, so braucht
man irgendetwas mit dem alles anfangen kann. Hierfür verwendet man sogenannte
Grundbegriffe“, diese denken wir uns als vorgegeben und nicht weiter hinterfragbar.
”
Für diese Grundbegriffe gibt man dann üblicherweise eine Beschreibung an, die erklären soll was man sich unter dem Grundbegriff vorzustellen hat. Der Mengenbegriff
ist solch ein Grundbegriff und die Cantorsche Mengendefinition ist seine Erklärung.
Welche Begriffe als Grundbegriffe verwendet werden und welche definiert werden,
ist letzten Endes eine rein willkürliche Entscheidung. Es ist beispielsweise möglich den
Begriff einer Funktion als Grundbegriff zu verwenden, und Mengen dann in Termen
von Funktionen zu definieren. Es hat sich aber ein üblicher Satz“ an Grundbegriffen
”
durchgesetzt, zu denen unter anderem die Mengen gehören.
Wir kommen jetzt zu unserem Thema zurück, und wollen einen weiteren der wichtigsten Begriffe der Mengenlehre einführen, die sogenannte leere Menge.
Definition 1.2 (Die leere Menge)
Die leere Menge ist die Menge die keine Elemente hat, geschrieben als ∅.
Natürlich ist die leere Menge für sich genommen keine interessante Menge, ihre Wichtigkeit besteht darin das sie sehr häufig vorkommt. Während die Physik sehr großzügig
mit fest vergebenen Namen ist, beispielsweise ist v fest für die Geschwindigkeit reserviert, gibt es in der Mathematik nur sehr wenige reservierte Namen, selbst ein Symbol
wie π steht nicht immer für die Kreiszahl, sondern kann je nach Kontext auch was
ganz anderes bedeuten. Einer dieser vergebenen Namen ist das Symbol ∅ für die leere
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Menge, ein anderer ist N für die Menge der natürlichen Zahlen. Beispiele für die leere
Menge kann man schlecht machen, da es ja nur eine einzige solche gibt, wir wollen
hier aber einmal zwei mit der leeren Menge in Zusammenhang stehende Situationen
besprechen, die erfahrungsgemäß regelmäßig zu Verwirrungen führen.
1. Das erste Problem ist ob {∅} = ∅ gilt? Dies wird erstaunlich häufig von Anfängern
als wahr angesehen, ist aber in Wahrheit falsch. Die Menge {∅} ist nicht die leere
Menge, denn sie hat ja ein Element, nämlich ∅ selbst.
2. Die zweite Frage ist, ob etwa ∅ ⊆ {1, 2, 3} gilt? Erinnern wir uns an die Teilmengendefinition, so bedeutet ∅ ⊆ {1, 2, 3} das jedes Element der leeren Menge auch
ein Element von {1, 2, 3} ist, und so merkwürdig es einem auch vorkommt, dies
ist wahr. Es gibt ja kein Element der leeren Menge für das das falsch sein könnte.
Mit derselben Begründung ist auch
∅⊆M
für überhaupt jede Menge M . Insbesondere ∅ ⊆ ∅.
Mit Mengen kann man rechnen, es gibt eine Vielzahl von Operationen die aus zwei
gegebenen Mengen eine neue Menge machen. Die drei wichtigsten dieser Rechenoperationen wollen wir zum Abschluß dieser Sitzung einführen:
Definition 1.3: Seien M, N zwei Mengen.
1. Die Vereinigung von M und N , geschrieben als M ∪N , ist die Menge all derjenigen
Objekte die Element von M oder von N sind.
2. Der Durchschnitt von M und N , geschrieben als M ∩ N , ist die Menge all derjenigen Objekte die Element von M und von N sind.
3. Die Differenzmenge von M und N , geschrieben als M \N , ist die Menge aller
Elemente von M , die nicht zugleich Element von N sind.
Zu Beispielen kommen wir in der nächsten Sitzung, jetzt wollen wir nur noch ein
paar Kommentare zu dieser Definition bringen. Das Wort seien“ ist außerhab der
”
Mathematik recht ungebräuchlich. Der Satz Seien M, N zwei Mengen“ bedeutet Wir
”
”
geben uns zwei beliebige Mengen vor und nennen diese M und N“. Weiter bedeutet das
Wort oder“ in der Mathematik immer das einschließende oder“, bei A oder B ist also
”
”
auch erlaubt das A und B beide zutreffen. Schließlich wird anstelle der Schreibweise
M \N für die Differenzmenge von einigen Autoren auch das Symbol M − N verwendet.
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