Präsenzaufgaben - Uni Heidelberg

Universität Heidelberg
Institut für Informatik
Priv.-Doz. Dr. Wolfgang Merkle
14. Juli 2014
Übungen zur Vorlesung
Berechenbarkeit und Komplexität 2
Blatt 5
(Präsenzaufgaben)
Aufgabe 1
Eine Folge A heißt linksberechenbar, falls die reelle Zahl α mit Binärdarstellung 0, A(0)A(1) . . . durch
eine monoton wachsende berechenbare Folge von daydischen rationalen Zahlen a0 , a1 , . . . approximiert
werden kann, d.h., es gibt berechenbare Folgen von natürlichen Zahlen p0 , p1 , . . . und q0 , q1 , . . . mit
pi
ai ≤ ai+1
und
lim ai = α.
ai = qi ,
i→∞
2
Zeigen Sie, dass für jede Folge A die folgenden Aussagen äquivaent sind.
a) Die Folge A ist linksberechenbar.
b) Es gibt eine berechenbare Folge w0 , w1 , . . . von Wörtern mit wi ≤lex wi+1 , die punktweise gegen A
konvergiert.
c) Es gibt einen Folge A0 , A1 , . . . von Folgen mit A0 = 0∞ , welche punktweise gegen A konvergiert, so
dass für alle i > 0 die wie folgt definierten Mengen
Di01
= {n ∈ N : Ai−1 (n) = 0 und Ai (n) = 1}
Di10
= {n ∈ N : Ai−1 (n) = 1 und Ai (n) = 0}
und
endlich sind, man aus i kanonische Indizes dieser beiden Menge berechnen kann und weiter gilt:
falls Di10 nicht leer ist, folgt, dass auch Di01 nicht leer und dass min Di01 < min Di10 gilt.
Aufgabe 2
Eine Folge A heißt array-nichtberechenbar, falls es zu jeder Funktion f ≤wtt H eine Funktion g ≤T A
gibt, so dass f (n) ≤ g(n) für unendlich viele n gilt; andernfalls heißt A array-berechenbar.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) Ist die Folge A r.a. und gilt g ≤T A für eine Funktion g : N → N, dann gibt es eine linksberechenbare
Funktion g 0 mit g ≤ g 0 .
b) Es sei I0 , I1 , . . . eine Folge von paarweise disjunkten endlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen,
so dass man zu gegebenem k einen kanonischen Index von Ik berechnen kann. Weiter sei A eine
r.a. array-nichtberechenbare Folge und V sei eine beliebige r.a. Folge. Dann gibt es im Turing-Grad
von A eine r.a. Folge B, welche auf unendlich vielen der Intervalle Ik mit V übereinstimmt.
c) Unter den Voraussetzungen des Teils b gibt es eine r.a. Folge B im Turing-Grad von A, welche mit
jeder r.a. Folge auf unendlich vielen der Teilmengen Ik übereinstimmt.
Bemerkung: Der Lückensatz von Kummer besagt, dass (i) im Turing-Grad jeder r.a. array-nichtberechenbaren Folge eine r.a. Folge B existiert, so dass C(B n) ≥ 2 log n − c für eine Konstante c und unendlich
viele n gilt, wohingegen (ii) für jede r.a. array-berechenbare Folge A und jede berechenbare Ordnung h
gilt C(A n) ≤+ n + h(n). Im Beweis von Aussage (i) wird Teil c benutzt.
Die Aufgaben sind Präsenzaufgaben und sollen nicht abgegeben werden. Die
Aufgaben werden in der Übung am Montag, den 14. Juli 2014, besprochen.
Hinweis: Übungsblätter können im Netz unter folgender Adresse abgerufen werden
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ss14/ .