Theoretische Thermodynamik und Elektrodynamik 7. Präsenz

Theoretische Thermodynamik und Elektrodynamik
7. Präsenz- und Hausübung – 7.12.06
7.1 Gleichförmig bewegter magnetischer Dipol (aus Herbst 2004, Nr. 2, Teilaufgabe 2):
Wir betrachten Sie erneut einen punktförmigen Dipol m
~ = m0~ez = (0, 0, m0) (vgl. Aufgabe
6.2). Wenn er sich am Ursprung befindet, verursacht er das Magnetfeld (~r 6= 0)
~ r − r2m
~
~ 0 (~r) = µ0 3(~r · m)~
B
5
4π
r
.
Der Dipol bewege sich nun jedoch mit konstanter Geschwindigkeit ~v = v~ez entlang der zAchse in die positive z-Richtung, d.h. er hat die Koordinaten ~rd (t) = (0, 0, vt − z0 ), mit
v > 0 und z0 > 0. (Eventuelle Strahlungseffekte sollen generell vernachlässigt werden.)
a) Zeigen Sie, dass an einem Punkt ~r in der (x, y)-Ebene, der durch die Zylinderkoordi~ r) des Dipols zur Zeit t = 0
naten ρ, φ und z = 0 beschrieben wird, das Magnetfeld B(~
folgende Form hat:
~ r) = (Bx , By , Bz ) =
B(~
µ0 m0
(3z0 ρ cos φ, 3z0 ρ sin φ, 3z02 − (z02 + ρ2 )) .
4π(z02 + ρ2 )5/2
b) In der (x, y)-Ebene befinde sich nun ein unbeweglicher Kupferring (Radius R, Mittelpunkt (0, 0, 0)). Berechnen Sie für t = 0 den Fluss Φ des Dipolfeldes durch den Ring.
c) Geben Sie nun auch den Fluss für beliebige Zeiten t 6= 0 an. Nimmt der Fluss zum
Zeitpunkt t = 0 zu oder ab? Berechnen Sie die im Kupferring induzierte Spannung
U(t) zur Zeit t = 0.
d) Der Kupferring habe den Widerstand RCu . Berechnen Sie die Größe des im Kupferring
induzierten Stroms zur Zeit t = 0. Fließt der Strom in die positive oder negative φRichtung? (Hinweis: Lenz’scher Satz).
e) Berechnen Sie die Lorentz-Kraft, die zur Zeit t = 0 durch das Magnetfeld des Dipols
auf den Kupferring ausgeübt wird, und diskutieren Sie deren Richtung.
Nützliche Formeln:
Z
xdx
−1
=
2
2
5/2
2
(a + x )
3(a + x2 )3/2
,
1
Z
(a2
−1
xdx
= 2
2
3/2
+x )
(a + x2 )1/2
.
7.2 Reflexion (Frühjahr 2006 B 1):
Die Ebene x = 0 sei die Grenzfläche zwischen dem Vakuum (Halbraum
√ x < 0) und einem
Dielektrikum (Halbraum x > 0) mit konstantem Brechungsindex n = ε > 1 und Permeabilität µ = µ0 . Ein in x-Richtung einfallender Lichtstrahl (monochromatische ebene Welle)
~ = ~ey E treffe aus dem Vakuum
mit Frequenz ω, Wellenzahl ~k = ~ex k und elektrischem Feld E
senkrecht auf die Grenzfläche.
~ B),
~ der transmittierten
Die elektrischen und magnetischen Felder der einfallenden Welle (E,
′ ~′
′′ ~ ′′
~
~
Welle (E , B ) und der reflektierten Welle (E , B ) können geschrieben werden als
~ ′′ (~r, t) = ~ey E0 ëi(−kx−ωt) ;
~ r, t) = ~ey E ′ ei(nkx−ωt) , E
~ r, t) = ~ey E ′ ei(kx−ωt) , E(~
E(~
0
0
~ r, t) = ~ez B0 ei(kx−ωt) , B(~
~ r , t) = ~ez B0′ ei(nkx−ωt) , B
~ ′′ (~r, t) = ~ez B0′′ ei(−kx−ωt) .
B(~
~ ×E
~ = − ∂ B,
~ um den Zusammenhang zwischen
a) Benutzen Sie das Induktionsgesetz ∇
∂t
′
′
′′
′′
E0 und B0 (E0 und B0 , E0 und B0 ) herzuleiten.
b) Berechnen Sie die Amplituden der transmittierten Welle E0′ und der reflektierten Welle
E0′′ als Funktionen von n und E0 .
Hinweis: Für die vorgegebene Geometrie sind die elektrischen und magnetischen Felder
beide stetig an der Grenzfläche.
c) Sind die elektrischen Felder der einfallenden und reflektierten Wellen parallel oder antiparallel zueinander?
d) Die Intensitäten der einfallenden, transmittierten und reflektierten Wellen können wie
folgt durch die entsprechenden Energiestromdichten ausgedrückt werden:
I=
1 ~
1 ~′
1 ~ ′′
|E × B~∗ | , I ′ =
|E × B~′∗ | , I ′′ =
|E × B~′′∗ | .
2µ0
2µ0
2µ0
Berechnen Sie T = I ′ /I und R = I ′′ /I, d.h. die transmittierte bzw. reflektierte Intensität bezogen auf die einfallende Intensität.
e) Was muss für R + T gelten und warum? Überprüfen Sie diese Beziehung mit dem
Ergebnis von d).
2
7.3 Magnetfeld einer Stromverteilung( Herbst 2006 B 2):
Gegeben sei ein zylinderförmiger Leiter vom Radius R, durch welchen ein homogen verteilter
Strom I fließt. Wählen Sie Zylinderkoordinaten r, ϕ, z mit der z-Achse in Richtung der
Zylinderachse.
~ nur eine ϕ-Komponente hat.
a) Bgründen Sie, dass die magnetische Induktion B
b) Bestimmen und skizzieren Sie die Ortsabhängigkeit der magnetischen Induktion Bϕ (r)
innerhalb und außerhalb des Zylinders.
Gegeben sei nun ein Hohlzylinder mit innerem Radius R1 und äußerem Radius R2 , welcher
vom Strom I in z-Richtung durchflossen wird.
c) Bestimmen Sie die Stromdichte j. Bestimmen Sie unter Verwendung des Ergebnisses
von Teilaufgabe b) die magnetische Induktion Bϕ (r). Skizzieren Sie die Ortsabhängigkeit von Bϕ (r).
d) Betrachten Sie den Grenzfall d = −R2 − R1 → 0: Bestimmen Sie die magnetische
Induktion für eine sehr dünne Zylinderwand (d ≪ R1 , R2 ). Was folgt daraus für den
Sprung der magnetischen Induktion an einer stromdurchflossenen Grenzfläche?
7.4 Geriebener Hartgummistab (aus Frühjahr 2001, Thema Nr. 2, Teilaufgaben 3 und 4):
Wir betrachten einen Hartgummistab mit kreisförmigem Querschnitt, Radius R, Länge L
mit der relativen Permeabilität µr = 1. Auf der Oberfläche wurde durch Reiben die konstante
Oberflächenladungsdichte σ = Q/(2πRL) erzeugt. Die Länge L sei groß gegen den Radius
R(L ≫ R, formal L → ∞), so dass von Randeffekten abgesehen werden kann.
a) Der Stab rotiere nun mit der Winkelgeschwindigkeit ω um seine Längsachse.
i) Berechnen Sie aus dem Ausdruck ~j = ρ(~r)v(~r) für die Stromdichte die Flächenstromdichte ~jσ .
~ r) im Inneren und Äußeren des Stabs.
ii) Berechnen Sie die magnetische Induktion B(~
b) Induktionsspannungen in Leiterschleifen
i) Um die Mitte des Stabs sei eine geschlossene Leiterschleife vom Radius a geschlungen (siehe Fig. 1). Die Rotation verlangsame sich linear: ω(t) = ω0 (1 − t/τ ). Berechnen Sie die Umlaufspannung in der Schleife.
ii) Wie groß ist die Umlaufspannung für die in Fig. 2 gezeigte Anordnung?
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