Einf¨uhrung in die theoretische Physik II Ausgewählte Aufgaben zur

Einführung in die theoretische Physik II
Sommersemester 2015
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Ausgewählte Aufgaben zur Klausurvorbereitung
Besprechung am 9.7. in der Vorlesung.
Aufgabe 1: Elektrostatik
Betrachten Sie eine geladene Kugel (Radius R) mit Ladungsdichte ρ(r) = ρ0 r/R.
a. Berechnen Sie mit Hilfe des Gauss’schen Satzes das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb der Kugel.
b. Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(~r) unter der Annahme dass φ(∞) = 0.
c. Skizzieren Sie den Potentialverlauf.
Überprüfen Sie, welches der Felder
~ 1 (~r) = (2zx + y 2 )êx + 2yxêy + x2 êz
E
~ 2 (~r) = (zx + y 2 )êx + 2yxêy + xêz
E
und ein elektrostatissches Feld sein kann. Berechnen Sie für dieses die Ladungsdichte und das Potential.
Aufgabe 2: Bildladungen
Zwei positive geladene Punktladungen befindet sich in den Punkten (0, 0, a) und (d, 0, a) oberhalb einer perfekt
leitenden Oberfläche, die durch die Ebene z = 0 gegeben ist.
a. Berechnen Sie das elektrostatische Potential der Anordnung für z > 0 mit Hilfe der Bildladungsmethode.
b. Berechnen Sie die x-Komponente der Kraft auf eine der Ladungen, d.h. die Komponente parallel zur Oberfläche und erwickeln Sie den Ausdruck für d a.
Aufgabe 3: Magnetostatik
Betrachten Sie einen langen Draht mit Radius R entlang der z-Achse. Die Stromdichte innerhalb des Drahtes sei
durch
~j(~r) = êz j0 [1 − (s/R)2 ]
p
gegeben, wobei s = x2 + y 2 den Abstand von der z-Achse bezeichnet.
~ r) innerhalb und ausserhalb des Drahtes.
a. Bestimmen Sie das magnetische Feld B(~
b. Berechnen Sie die Kraft auf eine stromdurchflossene rechteckige Leiterschleife C, bestimmt durch die Eckpunkte (a, 0, 0) → (a, 0, b) → (a0 , 0, b) → (a0 , 0, 0) → (a, 0, 0).
c. Aus Symmetriegründen können sie folgern, dass das Vektorpotential der Anordnung in êz -Richtung zeigt
~ r) ausserhalb des Drahtes, indem Sie den Satz von Stokes mit der
und nur von s abhängt. Bestimmen Sie A(~
~
~
~
~ so dass A
~ = 0 für
Beziehung ∇ × A = B auf eine Kurve C wie in Aufgabe b anwenden. Wählen Sie A
s = R.
~ r) = y 2 êx + 2yzêy − 3zxêz ?
d. Kann es sich bei dem folgenden Feld um ein Magnetfeld handeln: B(~
Aufgabe 4: Maxwell-Gleichungen
a. Betrachten Sie die Überlagerung von zwei ebenen Wellen mit Ausbreitungsrichtung in z-Richtung, von
denen eine in êx und eine in êy -Richtung polarisiert ist. Die Feldamplituden sei E1 und E2 , und die Wellen
seien um π/2 phasenverschoben. (Es handelt sich um eine elliptisch polarisierte Welle). Geben Sie für beide
Anteile der Welle die explizite Form des elektrischen und magnetischen Feldes an.
b. Berechnen Sie die zeitgemittelte Energiestromdichte (Poynting-Vektor).
Aufgabe 5: Fourier-Transformation Betrachten Sie den Fourier-Ansatz
Z
v(x, t) =
h
i
dk v+ (k)eikx−iωt + v− (k)eikx+iωt .
(1)
für eine eindimensionale Welle. Zur Zeit t = 0 sei die Welle gegeben durch v(x, 0) = Θ(1 − |x|), und ihre
Zeitableitung durch v̇(x, 0) = 0.
a. Berechnen Sie die Fouriertransformierten von v(x, 0) und v̇(x, 0).
b. Bestimmen Sie v± (k) durch Vergleich des Ergebnisses von a mit der Fouriertransformierten von Gl. (1).