Theoretische Physik IV

Theoretische Physik IV
SoSe 2010
Übungsblatt 2
Dozent: J. König
Übung: J. Swiebodzinski, A. Hucht
Abgabe: bis 26.04.10, 13:00.
Aufgabe 3 :
(6 Punkte)
Für ein ideales Gas gilt die Zustandsgleichung pV = N kT . Die Wärmekapazität ist gegeben durch
CV = f2 N k, wobei f die Zahl der Freiheitsgrade ist.
(a) Berechnen Sie die Entropie S(T, V ) des idealen Gases.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst unter Benutzung der Transformationsformel
! "
!
" !
"
! "
∂x
∂x
∂w
∂x
=
+
∂y z
∂y w
∂w y ∂y z
sowie einer Maxwellrelation, dass
# ∂U $
∂V
T
= 0, d. h. dU = CV dT .
(b) Berechnen Sie die adiabatische Zustandsgleichung bei konstanter Teilchenzahl.
(c) Berechnen Sie die Wärmekapazität bei konstantem Druck Cp , die isotherme und adiabatische Kompressibilität, κT bzw. κS , sowie die thermische Ausdehnung αp .
(d) Überprüfen Sie für das ideale Gas die Gültigkeit der allgemeinen Relationen
κT
Cp
=
CV
κS
und
Cp − CV = T V
α2p
.
κT
Aufgabe 4 :
(3 Punkte)
Gegeben seien zwei Behälter mit idealen Gasen gleicher Teilchenzahl und Temperaturen T2 > T1 .
(a) Berechnen Sie die maximale Endtemperatur des gesamten Systems.
(b) Wie ist die minimale Endtemperatur des gesamten Systems?
(c) Wie groß ist die jeweilige Entropieänderung?
& '
& '(
%
Hinweis: Aus Aufgabe 3 kennen wir S = N k f2 ln TT0 + ln VV0 .
Aufgabe 5 :
(3 Punkte)
Berechnen Sie den Wirkungsgrad einer mit einem idealen Gas betriebenen Carnot-Maschine und
zeigen Sie, dass die durch pV = N kT definierte Temperaturskala identisch mit der Kelvinschen
Skala ist.
- Bitte wenden! -
Computeraufgabe C1 :
Die van-der-Waals-Zustandsgleichung lautet
&
a'
(v − b) p + 2 = RT
v
(10 Punkte)
mit dem Druck p, dem molaren Volumen v, der Gaskonstanten R und der Temperatur T . Die
Konstanten a und b berücksichtigen Kräfte zwischen den Gasmolekülen und ihr Eigenvolumen.
(a) Berechnen und plotten Sie für a = b = 1 Isothermen pth (v) für T = {0, 1/20, . . . , 1} im
p-v-Diagramm.
(b) Berechnen Sie die Temperatur Tc der kritischen Isotherme, bei der p(v) einen Sattelpunkt
hat, und plotten Sie diese dazu.
(c) Berechnen Sie aus der inneren Energie pro Mol des van-der-Waals-Gases
&
a' a
3
u(p, v) = (v − b) p + 2 −
2
v
v
die Adiabaten pad (v) durch Integration der Differentialgleichung
# $
! "
p + ∂u
dp
∂v p
=− & '
∂u
dv ad
∂p
v
für a = b = 1 und geeignete Werte der Integrationskonstanten C[1] und plotten Sie beide
Kurvenscharen zusammen. Beachten Sie, dass v > b ist und C[1] möglicherweise komplex
sein muss, damit pad (v) reell ist.