Analysis I

Prof. Dr. S. Sauter
Angewandte Mathematik
Universität Zürich
Analysis I
1. Übung
Abgabetermin: 21.09.2009 bis 13 Uhr
Aufgabe 1
Beweisen Sie Satz 1.1.5 aus der Vorlesung (Skript).
Aufgabe 2
a. Zeigen Sie, dass die Fibonacci-Folge (xn )n∈N mit x1 := 1, x2 := 1 und xn := xn−1 +
xn−2 keinen Häufungspunkt hat.
b. Berechnen Sie alle Häufungspunkte der Folge (xn )n∈N mit xn :=
(−1)n
n
+ i 1+(−1)
.
2
n
c. Sei n ∈ N. Beweisen Sie mit Induktion: n7 − n ist durch 7 teilbar.
* Aufgabe 3
a. (Ackermann-Funktion) Die Funktion ψ : N0 × N0 → N sei für alle m, n ∈ N0 rekursiv
definiert durch
ψ(n, 0) = n + 1,
ψ(0, m + 1) = ψ(1, m),
ψ(n + 1, m + 1) = ψ ψ(n, m + 1), m .
Berechnen Sie Werte für ψ bis Sie ψ(0, m) = 13 für ein m ∈ N erhalten.
b. (an )n∈N0 sei ein Folge reeller Zahlen mit den Eigenschaften:
√
a0 = 1, an+1 = an + an+1 + an .
Beantworten Sie folgende Fragen: Ist die Folge eindeutig bestimmt, ist sie monoton,
ist sie beschränkt? Berechnen Sie die ersten zehn Folgenglieder.
c. (freiwillig) Berechnen Sie y = 333.75b6 + a2 (11a2 b2 − b6 − 121b4 − 2) + 5.5 b8 + a/(2b)
für a = 77617 und b = 33096 mit unterschiedlichen Taschenrechnern/PC, etc. Was
stellen Sie fest?