Ubungen zur Vorlesung Funktionentheorie und Dr. A. A

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie und
Vektoranalysis
Herbstsemester 2014
Dr. A. A’Campo-Neuen
27. Oktober 2014
Aufgabenblatt 7
Aufgabe 1. (Residuen) Berechnen Sie die Residuen der folgenden Funktionen jeweils
an der angegebenen singulären Stelle z0 :
1
(a) f (z) = z 3 · exp( ),
z
(c) f (z) = √
z0 = 0;
z
(für |z| < 1),
1 + z2 − 1
(b) f (z) =
z0 = 0;
ln(z + 1)
(für |z| < 1),
arctan(z)
z2 + 1
(d) f (z) =
,
z(z − 3)2
z0 = 0;
z0 = 3.
(4 Punkte)
Aufgabe 2. (Residuensatz) Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Z
z
dz, wobei γ(t) = 12 + 34 e−it für t ∈ [0, 8π].
(a)
2
γ sin (πz)
Z
1
dz, wobei γ(t) = −i + 3 e2it für t ∈ [0, 2π].
(b)
ln(z
+
1)(z
−
i
+
1)
γ
Skizzen der Wege sind hier hilfreich.
(4 Punkte)
P∞ k2
Aufgabe 3. (Zählendes Integral) Zeigen Sie folgendes: (a) Die Potenzreihe k=0 z hat
den Konvergenzradius 1.
P
k2
für |z| < 1. Dann gibt das Wegintegral
(b) Seien 0 < r < 1, n ∈ N und f (z) = ∞
k=0 z
Z
(f (z))2
1
dz
2πi ∂Kr (0) z n+1
die Anzahl der Möglichkeiten an, die Zahl n als (geordnete) Summe von zwei Quadraten
von Zahlen in N0 zu schreiben.
(3 Punkte)
Aufgabe 4. (Residuenkalkül)
(a) Für R > 0 sei βR (t) = Reit (t ∈ [0, π]). Zeigen Sie:
Sind p, q Polynome mit grad q ≥ grad p + 2, so gilt lim
R→∞
Z
βR
p(z)
dz = 0 .
q(z)
(b) Berechnen Sie nun die folgenden uneigentlichen Integrale auf dem Umweg übers Komplexe:
Z ∞
Z ∞
x2 − 4
3x2 + 4x
dx
und
dx .
2
2
2
x4 + x2 + 1
0
−∞ (x + 1)(x + 4)(x + 9)
(6 Punkte)
Aufgabe 5. (Residuenkalkül) Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
Z ∞
π
(2n − 2)!
1
dx = 2n−2 ·
2
n
2
((n − 1)!)2
−∞ (x + 1)
(3 Punkte)
Abgabe: Montag, den 3. November 2014, in der Vorlesung oder bis 14 Uhr im Mathematischen Institut.