Serie 10 - D-MATH

D-MATH, D-PHYS
Prof. H. Knörrer
Funktionentheorie
HS 2014
Serie 10
In dieser Serie behandeln wir biholomorphe Abbildungen, unendliche Produkte und berechnen wir
noch ein paar Integrale. Es ist die letzte Serie. Frohe Festtage!
Abgabe-/Einsendeschluss: Dienstag, 16. Dezember, 15:00 Uhr. Abgabe möglich in der Übungsstunde oder in Fächern im HG J 68.
1. Zeigen Sie, dass jede biholomorphe Abbildung C −→ C der Gestalt f (z) = az + b (a 6= 0) ist.
Hinweis: Die isolierte Singularität von f auf ∞ muss ein einfacher Pol sein.
2. Berechnen Sie die folgenden unendlichen Produkten:
∞ 2
Y
n −1
(b)
.
n2 − 4
n=3
∞ Y
1
(a)
1− 2 ;
n
n=2
3. Zeigen Sie, dass
Q
P
(1 + tj ) ≤ exp ( tj ), wenn tj ≥ 0.
4. Man berechne die folgenden Integrale
Z
π/2
(a)
0
Z
dx
;
1 + sin2 x
(b)
0
+∞
xp
dx, −1 < p < 1.
1 + x2
Q∞
n
n+1 z
(*) 5. (a) Zeigen Sie, dass das Produkt z1 n=1 z+n
zu einer Zahl Γ(z) konvergiert, wenn
n
z 6= 0, −1, −2, . . .. Ferner zeige man, dass die Funktion Γ(z) meromorph ist, mit nur
einfachen Polstellen auf 0 und auf allen negativen ganzen Zahlen. besitzt.
(b) Beweisen Sie, dass
(m − 1)! mz
m→∞ z(z + 1) · · · (z + m − 1)
Γ(z) = lim
ist.
(c) Zeigen Sie, dass Γ(z + 1) = zΓ(z) ist und dass Γ(n + 1) = n! für positive ganze Zahlen n
ist.