¨Ubungsaufgaben vom 29.5.2017

Vorlesung Diff. und Integralrechnung II
Sommersemester 2017
Übungsaufgaben vom 29.5.2017
Aufgabe 1: a) Bestimmen Sie α, β ∈ R derart, daß in [0, 1]
√
x ≈ α + βx
mit einem minimalen quadratischen Fehler gilt, d. h. α, β sind so zu bestimmen, daß für
alle a, b ∈ R gilt:
Z
1
2
√
x − α − βx dx ≤
Z
0
1
√
x − a − bx
2
dx.
0
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Menge
B := (x, y) ∈ R2 | sin2 x ≤ y ≤ ex , a ≤ x ≤ b ,
wobei 0 < a < b gegebene reelle Zahlen sind.
Aufgabe 2: a) Zeigen Sie die Existenz der folgenden uneigentlichen Integrale:
Z ∞
Z b r
Z ∞
x2
x−a
x
x
dx,
dx,
dx, (a < b).
3
4
x +1
x +1
b−x
0
a
0
b) Berechnen Sie das uneigentliche Integral
Z ∞
dx
2
2
(x + a )(x2 + b2 )
0
(a > b > 0).
Aufgabe 3: Untersuchen Sie für n ∈ N die uneigentlichen Integrale
Z ∞
sinn x
dx
x
0
auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
Aufgabe 4: Betrachtet werden die uneigentlichen Integrale
Z ∞
2
Jn :=
x2n+1 · e−x dx, n = 0, 1, 2, . . . .
0
Berechnen Sie zuerst J0 , J1 und geben Sie dann eine Rekursionsformel für Jn an. Welchen
Wert erhält man daraus für Jn ?