¨UBUNGEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 2

Sommersemester 2013
Prof. Dr. H.-J. Schmeißer
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ANALYSIS 2
12. Serie
Abgabe der mit gekennzeichneten Aufgaben vom bis zum
Aufgabe 1:
(
1
e− x2 ,
x 6= 0 auf R beliebig oft differenzierbar ist. Man
Man zeige, daß die Funktion f (x) =
0,
x=0
entwickle die Funktion in eine Taylorreihe bei 0 und untersuche die Konvergenz.
Aufgabe 2:
Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz bzw. Divergenz:
ˆ ∞
ˆ ∞
ˆ ∞
dx
1
sin2 x
1
√
a)
,
b)
sin dx,
c)
dx,
x
x
x
x3 + x
1
1
0
ˆ 1
ˆ ∞
ln x
2
sin x dx,
e)
dx.
d)
1
− x2
0
0
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:
ˆ ∞
ˆ 1
ln x
dx
√
,
b)
dx,
a)
x2
1
0 (2 − x) 1 − x
ˆ ∞
ln x
c)
dx, Hinweis: Substitution x = 1/t .
1
+ x2
0
Aufgabe 4:
Für welche reellen Zahlen α, β existieren die uneigentlichen Integrale
ˆ∞
ˆ∞ α
xα
ln x
a)
dx und b)
dx ?
β
1+x
xβ
0
1
Aufgabe 5:
Man zeige für s > 0 und ω ∈ R
ˆ∞
a)
e−st cos ωt dt =
s
2
s + ω2
ˆ∞
e−st sin ωt dt =
und b)
0
s2
ω
+ ω2
0
Aufgabe 6:
ˆ∞
0
ˆ1
| ln t|x−1 dt.
b) Man beweise: Für x > 0 ist Γ(x) =
0
β
xα e−x dx?
a) Für welche reellen Zahlen α, β existiert das uneigentliche Integral