4. ¨Ubung Mathematik 1 für BI

4. Übung Mathematik 1 für BI
23. (a) Erklären Sie den Unterschied zwischen Konvergenz und absoluter Konvergenz.
(b) Folgt aus Konvergenz die absolute Konvergenz oder umgekehrt? Wie lautet ein Gegenbeispiel für die
nicht gültige Folgerung?
(c) Überprüfen Sie mit dem Quotientenkriterium, ob folgende Reihen konvergieren bzw. divergieren.
X n!
X n! X
1!
,
,
.
n
(2n)! n 2
(n + 1)!
n
n
24. Überlegen Sie sich, dass in Fällen, in welchen das Ergebnis des Quotientenkriteriums 1 ist, keine Aussage
über die Konvergenz bzw. Divergenz gemacht werden kann.
Anleitung: Finden Sie eine konvergente Reihe und eine divergente Reihe, sodass bei beiden Reihen das
Quotientenkriterium 1 ergibt.
C* (a) Wurzelkriterium: Zeigen Sie die Gültigkeit des folgenden Kriteriums für absolute Konvergenz von unendlichen
Reihen
P
an ist absolut konvergent, wenn der Grenzwert
n
p
n
lim
n→∞
|an |
existiert und wenn gilt
lim
p
n
n→∞
|an | < 1.
(Hinweis: Vergleich mit geometrischer Reihe!)
(b) Untersuchen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen mit Hilfe des Wurzelkriteriums:
X nn X
3
n2 ( )n
2,
n
5
3
n
n
(Hinweis : lim
n→∞
√
n
n = 1)
P
P
25. Bilden Sie das Cauchy-Produkt ( an )( bn ) der beiden Reihen
∞
X
2n
n=0
n!
und
∞
X
1
2n n!
(1)
n=0
und berechnen Sie dessen Wert! Hinweis: Wenn Sie richtig gerechnet haben, erhalten Sie für den n-ten
1 5 n
(2) .
Summanden des Cauchy-Produkts den Term n!
26. Berechnen und skizzieren Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene:
(a) (1 + 3i)(1 − 2i).
(b)
2+i
3−i .
(c) (1 + i)17 . (Anleitung: zuerst in Polarkoordinaten umrechnen.)
p
(d) 17 (1 + i). (Anleitung: abermals Polarkoordinaten.)
27. Berechnen Sie alle (komplexen) Lösungen der Gleichung z n = 1 für n = 1, 2, 3, 4 und stellen Sie Ihre
Lösungsmengen in der Gauß’schen Zahlenebene dar. Was passiert für immer größer werdende n?
28. Stellen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen graphisch dar:
a) Re z = 17 Re (−iz) = 17, Im −z = 17.
b) Re z 2 ≤ 17, (z − 1)(z − 1) > 17, |z − 1| = 17, | Re z + Im z| ≤ 17.
29. Gegeben sind die Vektoren u = (1, 2, 0), v = (1, 1, 0), w = (1, 1, 1).
(a) Berechnen Sie den Winkel, der von u und v eingeschlossen wird.
(b) Die Orthogonalprojektion von u auf w werde mit u∗ bezeichnet. Berechnen Sie die Länge von u∗ .
(c) Berechnen Sie das Volumen des Parallelotops, das von u, v und w aufgespannt wird.
30. a) Stellen Sie die Ebene E : n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = 1 mit Normalvektor
(n1 , n2 , n3 ) = (1, −1, 0) in der Form x = a + λb + µc dar.
b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes (1, 1, 1) von E.