Stochastik I - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. Christian Bender
Philip Oberacker
Universität des Saarlandes, Sommersemester 2014
27. Mai 2014
Stochastik I
Blatt 6
Aufgabe 1
(3+2=5 Punkte)
Wir betrachten den Maßraum (R, B, λ).
(a) Wir definieren für n ∈ N und i ∈ {1, . . . , n}
Ain :=
i−1 i
,
n n
und
fni (x) := 1Ain (x),
(x ∈ R).
Untersuchen Sie die Folge
(f11 , f21 , f22 , f31 , f32 , f33 , . . . )
auf fast sichere Konvergenz und Konvergenz in L1 (λ).
(b) Wir definieren
gn (x) :=
1
1
(x),
n [0,n]
(x ∈ R).
Untersuchen Sie die Folge (gn )n∈N auf fast sichere Konvergenz und Konvergenz in L1 (λ).
Aufgabe 2
(3+3=6 Punkte)
Sei (fn )n∈N eine nichtfallende Folge von messbaren, eigentlich Riemann-integrierbaren Funktionen
fn : [0, 1] → R, die punktweise gegen eine eigentlich Riemann-integrierbare Grenzfunktion f :
[0, 1] → R konvergieren.
(a) Zeigen Sie
Z
lim
n→∞ 0
1
Z
fn (s) ds =
1
f (s) ds,
0
wobei die beiden auftretenden Integrale Riemann-Integrale sind.
(b) Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass in Teil (a) im Allgemeinen auf die Forderung der Riemann-Integrierbarkeit der Grenzfunktion f nicht verzichtet werden kann.
Hinweis: Hierbei können Sie zum Beispiel eine Folge von Indikatorfunktionen zu geeigneten
Mengen rationaler Zahlen betrachten.
Aufgabe 3
(9 Punkte)
Sei Ω eine nicht-leere Menge, R ein Ring auf Ω und µ ein endlicher Inhalt auf R. Weiter sei
X=
m
X
ai 1Ai
i=
eine Funktion in E mit paarweise disjunkten Mengen Ai ∈ R (i = 1, . . . , m), ∪m
i=1 Ai = Ω und ai ≥ 0
Z
X(ω) µ(dω) :=
Ω
m
X
ai µ(Ai )
i=
(Dieses Integral ist wohldefiniert, was man mit den gleichen Methoden wie im Fall, dass R eine
σ-Algebra und µ ein Maß sind, zeigen kann). Zeigen Sie die folgenden Äquivalenzen:
(i) µ ist ein Prämaß.
(ii) Für alle nichtsteigenden Folgen (Xn )n∈N in E mit limn→∞ Xn = 0 gilt
Z
Xn dµ → 0.
Ω
(iii) Für alle X ∈ E gilt
Z
Z
X dµ = inf sup
Yn dµ : (Yn )n∈N ist nicht fallende Folge in E mit sup Yn ≥ X .
Ω
n∈N Ω
n∈N