Reihen 1

FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI)
Mathematik 2 für KMUB
Prof. Dr. H.-R. Metz
Skript 16
20./28. Mai 2009
Reihen 1
Folgen von Zahlen — Folgen von Funktionen
• Definition
Wird jedem n ∈ IN eine Zahl an zugeordnet, so entsteht eine unendliche
Zahlenfolge
a1 , a2 , a3 , . . .
Schreibweise: (an )∞
n=1 oder kurz (an ).
Die Zahlen an heißen Glieder der Folge.
• Anmerkung:
(a) Die Indizierung darf statt mit 1 auch mit jeder anderen ganzen Zahl
beginnen.
(b) Eine Folge kann als Funktion f mit
f : IN −→ IR,
f (n) = an
aufgefaßt werden.
(c) Die Vorschrift an = f (n) heißt Bildungsgesetz der Folge.
(d) Eine endliche Folge
a1 , a2 , a3 , . . ., am
wird entsprechend geschrieben: (an )m
n=1 .
• Beispiele, u.a.
– Folge der Primzahlen,
– arithmetische Folge,
– geometrische Folge,
– Fibonacci-Folge.
• Beispiele für konvergente Folgen (Begriff der Konvergenz anschaulich).
c 2009, Prof. Dr. H.-R. Metz. All rights reserved.
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• Definition
Die Zahlenfolge (an ) konvergiert gegen g (strebt gegen g), wenn es zu
jeder Zahl > 0 einen Index n0 () gibt, so daß
|an − g| < für alle n > n0 ()
ist. Dabei heißt g der Grenzwert (Limes) der Folge (an ). Schreibweise:
limn→∞ an = g oder an → g (n → ∞).
Die Folge (an ) heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist.
• Satz
Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.
• Beispiele, u.a.
– die Nullfolge
– die Folge
1
∞
1
n n=1
n ∞
+ n1
n=1
– eine bestimmt divergente Folge (Begriff des uneigentlichen Grenzwerts,
Schreibweise)
– die Folge
∞
3n2 −2n+1
2
n +4
n=1
– die geometrische Folge (q n )∞
n=0
• Definition
Habe wir unendlich viele durchnumerierte Funktionen f1 , f2 , . . . , die alle
auf derselben Teilmenge M der reellen Zahlen definiert sind, dann nennen
wir (fn )∞
n=1 eine Funktionenfolge auf M .
Konvergiert für jedes x ∈ M die Zahlenfolge (fn (x))∞
n=1 , dann wird durch
f (x) = lim fn (x)
n→∞
(x ∈ M )
auf M die Grenzfunktion f der Funktionenfolge definiert, und wir sagen, daß die Funktionenfolge auf M punktweise konvergent gegen f ist,
geschrieben
fn → f
(n → ∞) auf M ,
oder
lim fn = f
n→∞
auf M .
• Anmerkung: Eigenschaften der Funktionen f1 , f2 , . . . müssen sich bei
punktweiser Konvergenz nicht auf die Grenzfunktion übertragen. Sind beispielsweise alle Funktionen f1 , f2 , . . . stetig, dann muß die Grenzfunktion
keineswegs stetig sein.
• Beispiele
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