Zusammenfassung Folgen

Zusammenfassung Folgen
Christian Huber
Diese Zusammenfassung ist ein Mix aus dem Skript von Herr Dr. Peer Kunstmann, der allseits
beliebten Wikipedia, diversen anderen Onlinequellen und letztendlich meiner Fantasie ... es
gibt also keine Garantie auf Richtigkeit vor allem nicht bei den Beispielen ;)
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Defintion und Allgemeines
Eine Folge ist eine Abbildung (an )der natürlichen Zahlen auf die reellen Zahlen, d.h. jeder natürlichen Zahl, wird
eine reelle Zahl zugeordnet. Es gibt auch komplexe Folgen, jedoch verhalten sich diese wie reelle Folgen, wenn
man deren Real- und Imaginärteil verwendet.
Da auf die natürlichen Zahlen abgebildet wird, beginnen Folgen in der Regel von (a1 ). Sie können aber auch mit
(a0 ) beginnen, dann gilt halt n ∈ N0
1.1
Rekursive und explizite Angabe
Folgen können entweder explizit angegeben werden, d.h. man kann jedes Folgenglied direkt berechnen, wenn
man seine Zahl n kennt. z.B. (an ) = n2 + 2
Oder man gibt die Folgenglieder rekursiv an, d.h. man kann ein Folgenglied nur dann berechnen, wenn man das
vorherige kennt. z.B. (an+1 ) = 5 + (an ); a1 = 3
1.2
Teilfolgen
Teilfolgen sind, wie der Name schon sagt, ebenfalls Folgen, jedoch beinhalten sie nicht alle Folgeglieder der
ursprünglichen Folge, sondern nur einen Teil davon. Dabei ist die Reihenfolge von Bedeutung. Anders als bei
Umordnungen von Reihen, bei denen die Folgenglieder in willkürlicher Reihenfolge aufsummiert werden, ist es
hier nicht zulässig (a1 ), (a3 ), (a2 ) als Teilfolge zu betrachten. Es muss nämlich gelten, dass die Funktion, die die
Reihenfolge angibt, streng monoton steigend sein muss.
1.2.1
Häufungswerte
Die Grenzwerte der Teilfolgen werden Häufungswerte der Ausgangsfolge genannt. Jede beschränkte Folge hat
einen Häufungswert, da jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt (Bolzano-Weierstraß).
1.3
Monotonie
Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn jedes Folgenglied echt größer ist als das vorherige, d.h. an+1 > an
Entsprechendes gilt für streng monoton fallende Folgen.
1
Wenn jedes Folgenglied nur größer oder gleich als das vorherige ist, spricht man nur von Monotonie (also ohne
streng).
1.4
Beschränktheit
Eine Folge heißt beschränkt, wenn man eine obere und eine untere Schranke findet. Irgendwie klar ;)
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Konvergenz
2.1
Was ist Konvergenz?
Eine Reihe konvergiert, wenn unendlich viele Folgenglieder dem Grenzwert beliebig nahe kommen. Das heißt um
Umkehrschluss, dass es auf endlich viele Folgenglieder nicht ankommt. Die Aussagen beziehen sich also immer
nur auf fast alle Folgenglieder. Es gibt nun zwei Möglichkeiten die Konvergenz mathematisch zu beschreiben.
• Entweder sagt man, dass ab einem bestimmten Folgenglied an0 alle Folgenglieder beliebig nahe am Grenzwert liegen, d.h. dass für alle Folgenglieder an mit n ≥ n0 die Differenz zum Grenzwert kleiner als jedes > 0
wird.
∀ > 0∃n0 ∈ N∀n > n0 : |an − an0 | < • Oder man sagt, dass sich unendlich viele Folgenglieder in der sogenannten Epsilonumgebung des Grenzwerts befinden müssen. Die Epsilonumgebung bezeichnet ein Intervall um den Grenzwert mit Radius > 0
Wenn die Folge konvergiert, dann gibt es folglich einen Grenzwert, d.h. wir können schreiben limn→∞ = a, wobei
a der Grenzwert der Folge ist.
2.2
Wie kann ich Konvergenz nachweisen?
Der Nachweis der Konvergenz mit obigem Kriterium ist meist mühseelig. Deshalb gibt es einfachere Möglichkeiten.
1. Man formt den Term so um, dass er aus Summen von Folgen besteht, deren Grenzwerte bekannt sind. (Gilt
an → a und bn → b, dann ist an + bn → a + b)
Bsp: an = 2 + n1 → 2, weil bn = 2 → 2 und cn = n1 → 0
2. Eine Folge, die monoton ist und beschränkt, konvergiert und zwar gegen Supremum beziehungsweise Infimum der Folge.
3. Findet man zwei Folgen, die die zu untersuchende Folge “einschließen” und diese beiden Folgen konvergieren gegen den gleichen Wert, dann konvergiert die eingeschlossene Folge ebenfalls gegen diesen Wert.
Das kann man unter Umständen mit Teilfolgen realisieren.
n
z.B. an = 1+(−1)
lässt sich in die Teilfolge a2n−1 = 0 und a2n = 2/n. Beide Folgen konvergieren gegen 0,
n
also konvergiert auch an gegen 0.
4. Generell gilt, dass eine Folge dann konvergiert, wenn alle Teilfolgen, gegen den gleichen Wert konvergieren,
d.h. wenn es nur einen Häufungswert gibt. Existieren mehrere, so divergiert die Folge.
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2.2.1
Bekannte Grenzwerte
√
√
an = n1 → 0 bn = n an → a cn = n a → 1
2.3
dn = (1 + n1 )n → e
Limes Superior und Limes Inferior
Spezielle Grenwerte sind der Limes Superior und der Limes Inferior. Sie bezeichnen die Grenzwerte, gegen die
das Supremum und das Infimum einer Folge konvergiert. Dabei ist der Limes Superior stets der größten Häufungswert, der Limes Inferior ist stets der kleinste. Sie treten nur bei beschränkten Folgen auf. Ist die Folge unbeschränkt
setzt man lim supn→∞ = ∞. Entsprechendes gilt für den Limes Inferior. Konvergieren beide gegen den gleichen
Wert, so konvergiert die Folge gegen diesen Wert.
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Cauchyfolgen
Für jede konvergente Folge gilt:
∀ > 0∃n0 ∈ N∀n, m ≥ n0 :| an − am |< Eine solche Folge heißt Cauchyfolge und ist beschränkt, sowie konvergent in R und C.
3.0.1
Wozu bitte das denn?
Bei der Definition einer Cauchyfolge taucht kein Grenzwert auf, d.h. er interessiert nicht.√Eine Folge in Q die gegen
√
2 konvergiert, aber nur aus rationalen Zahlen besteht ist in Q nicht konvergent (weil 2 nicht in Q liegt). Sie ist
jedoch sehr wohl eine Cauchyfolge. Das heißt, dass die umgekehrte Implikation, jede Cauchyfolge ist konvergent
im Allgemeinen nicht stimmt.
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Zu Mengen ...
Eine Menge heißt endlich, wenn nur endlich viele Elemente drin sind ;), das heißt wenn es eine bijektive Abbildung
endlich vieler natürlicher Zahlen auf die Elemente der Menge gibt. Das heißt, jeder Zahl ist ein bestimmtes Element
und jedem Element eine eindeutige Zahl zugeordnet.
Kann man keine solche Abbildung finden ist die Menge unendlich, weil halt unendlich viele Elemente drin sind.
Eine solche Menge kann trotzdem abzählbar sein, wenn es eine surjektive Abbildung der natürlichen Zahlen auf
die Elemente der Menge gibt, dass heißt wenn alle Elemente der Menge getroffen werden. Man könnte auch
sagen, dass man eine Folge finden kann, die alle Elemente der Menge enthält (weil eine Folge eine Abbildung der
natürlichen Zahlen ist. Falls auch das nicht der Fall ist, dann ist die Menge überabzählbar.
Bsp: Die Menge M = {x | x ist gerade} ist abzählbar. Weil die Funktion f : N → M, n 7→ 2n alle Elemente der
Menge trifft.
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Funktionenfolgen: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
Eine Funktionenfolge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf Funktionen, d.h. jeder natürlichen Zahl wird
eine Funktion zugeordnet.
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Bsp:fn (x) = xn .
5.1
Punktweise Konvergenz
Man hat nun also zu jedem n eine Funktion. Man kann die Sache allerdings auch anders sehen. Man hat zu
jedem x ∈ D eine Folge. Graphisch entspricht diese Folge allen Funktionswerten auf einer parallelen zur y-Achse.
Man kann nun für diese Folgen wieder die Konvergenz definieren. Man sagt eine Funktionenfolge sei punktweise
konvergent, wenn für jeden x-Wert die Folgenglieder gegen einen bestimmten Wert konvergieren.
∀x ∈ D∀ > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 :| fn (x) − f (x) |< Dabei ist f (x) die Grenzfunktion, gegen die die Funktionenfolge konvergiert. Die Beispielfunktionenfolge von oben
ist punktweise konvergent auf dem Intervall [0, 1]. Die Grenzfunktion hat folgende Form
(
1|x=1
f (x) =
0 | sonst
Die Folge der Funktionswerte an der Stelle x = 1 ist natürlich immer 1, deshalb ist auch die Grenzfunktion 1. Für
jeden anderen x-Wert zwischen 0 und 1 konvergiert die Folge gegen 0. Die Grenzfunktion ist jedoch nicht stetig.
Für stetige Grenzfunktionen benötigt man die gleichmäßige Konvergenz.
5.2
Gleichmäßge Konvergenz
Hier findet man stetige Grenzfunktionen. Bei der punktweisen Konvergenz kann das n0 für jeden x-Wert verschieden sein. Bei der gleichmäßigen Konvergenz ist das nicht der Fall. Hier lautet die Bedingung:
∀ > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 ∀x ∈ D :| fn (x) − f (x) |< Man kann sich gleichmäßige Konvergenz folgendermaßen vorstellen. Man legt einen Epsilonschlauch um die
Grenzfunktion. Nun müssen ab einem bestimmten n0 alle Funktionen fn mit n ≥ n0 komplett innerhalb des Epsilonschlauchs liegen.
Bsp: Die Funktionenfolge fn (x) = x + n1 ist gleichmäßig konvergent. Die Grenzfunktion ist f (x) = x.
Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge ist stetig.
Potenzreihen konvergieren auf dem abgeschlossenen Intervall mit Radius R um den Entwicklungspunkt gleichmäßig.
5.3
Sätze zur gleichmäßigen Konvergenz
• Kann man den Abstand jeder Funktion einer Funktionenfolge zur Grenzfunktion nach oben durch eine Nullfolge abschätzen, so konvergiert die Folge gleichmäßig, d.h. cn → 0 und | fn (x) − f (x) |≤ cn für alle n.
• Sind die Funktionen einer gleichmäßig konvergierenden Funktionenfolge beschränkt, so ist auch die Grenzfunktion beschränkt.
• Sind die Funktionen stetig, so ist auch die Grenzfunktion stetig.
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