Blatt 05

Fachbereich
Mathematik
PD Dr. Ralf Holtkamp
Übungsaufgaben Mathematik I für Studierende der Physik:
Blatt 5 zur (Einzel-)Abgabe am 25.11.2015 (in den Übungen).
Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben.
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.
P
(k ≥ 0) konvergiert die Reihe ( nk=0 ak )n∈N absolut.
P
3
Für die Folge ak = k k+2k
(k ≥ 1) konvergiert die Reihe ( nk=1 ak )n∈N\{0} .
4
P
k
k
Für die Folge ak = 3 4+2
(k ≥ 0) konvergiert die Reihe ( nk=0 ak )n∈N .
k2
P
Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium konvergiert eine Reihe ( nk=0 ak )n∈N
komplexer Zahlen genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein N ∈ N gibt, so dass
P
n
k=m |ak | < ε für alle n ≥ m ≥ N .
< 1 für alle k ≥ 1. Dann
Sei (ak )k≥1 eine Folge komplexer Zahlen, so dass ak+1
ak Pn
konvergiert die Reihe ( k=1 ak )n∈N\{0} , aber im Allgemeinen nicht absolut.
(a) Für die Folge ak =
(b)
(c)
(d)
(e)
k+2
k!
Aufgabe 2: (3 Punkte)
P
n
Berechnen Sie den Wert der Reihe
k=1
(1+2i)k
kk
komplexer Zahlen bis auf einen
n∈N\{0}
Fehler, der betragsmäßig kleiner als 10−3 ist. Schätzen Sie hierzu die Reihe geeigenet ab,
P
(1+2i)k < 10−3 .
und finden Sie eine Zahl n0 ∈ N, so dass ∞
k=n0
kk Aufgabe 3: (2+2 Punkte)
(a) Beweisen Sie das sogenannte Wurzelkriterium für die Konvergenz von Reihen:
Es sei (ak )k∈N eine Folge komplexer Zahlen. Gibt es eine Zahl θ mit 0 ≤ θ < 1 und
eine Zahl N ∈ N, so dass für alle k > N
p
k
|ak | ≤ θ
P
gilt, dann ist die Reihe ( nk=0 ak )n∈N absolut konvergent.
Hinweis: Argumentieren Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe.
P
(b) Betrachten Sie die Reihe ( nk=0 ak )n∈N mit ak = 3−k für gerades k und ak = 4−k für
ungerades k. Zeigen Sie mit Hilfe des Kriteriums aus Teilaufgabe (a) die (absolute)
Konvergenz dieser Reihe. Zeigen Sie außerdem, dass das Quotientenkriterium in
diesem Fall nicht (direkt) angewendet werden kann.
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Aufgabe 4: (1+1+1+1 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N \ {0} und alle k ∈ N die Ungleichung
1
1
n
≤
k nk
k!
gilt. Zeigen Sie außerdem
lim
n→∞
n
k
1
1
= .
k
n
k!
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabenteil (a) die Ungleichung
9
≤
4
n X
n−1
n
X
1
1
1
1+
≤1+
< 3 für n ≥ 2.
≤
k
n
k!
2
k=0
k=0
(c) Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren.
!
n
X
2k k!
(c1 )
(c2 )
kk
k=1
n∈N\{0}
n
X
3k k!
kk
k=1
!
n∈N\{0}
n (d) Zeigen Sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge 1 + n1
n≥1
monoton wächst.
Bemerkung: Zusammen mit Aufgabenteil (b) folgt, dass die Folge (1 + n1 )n einen
∞
X
1
Grenzwert l ≤
= e hat. Es gilt sogar l = e.
k!
k=0
2