Loesungen zur 1. Klausur

1. KLAUSUR
MAT121.1 ANALYSIS I WINTERSEMESTER 2006/7
PROF. CAMILLO DE LELLIS
21.11.2006 45 MINUTEN
Der Herleitungsweg von Resultaten muss übersichtlich und vollständig sein. Die Antworten müssen
begründet sein. Bitte die Lösungen leserlich und auf separate Blätter schreiben.
1. Aufgabe. Beweise die folgende Ungleichung für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1:
√
1
1
1
√ + √ + . . . + √ ≥ n.
n
1
2
Antwort. Wir beweisen die Ungleichung durch vollständige Induktion. Die Ungleichung ist offenbar wahr für n = 1. Wir nehmen nun an, die Ungleichung sei für n wahr, und beweisen sie für
n + 1:
p
n+1
X
√
√
n(n + 1) + 1
1
1
n+1
√ ≥ n+ √
√
=
>√
= n + 1.
n+1
n+1
n+1
`
`=1
2. Aufgabe. Diese Aufgabe hat zwei Teile.
(1) Schreibe die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + ib (a, b ∈ R):
(3 + 4i)(2 + i)
(2 + i)3
4 + 3i
3+i
(2) Finde die zwei komplexen Lösungen der Gleichung z 2 = 3 − 4i.
Antwort.
(1)
(3 + 4i)(2 + i) = 6 + 3i + 8i − 4 = 2 + 11i
(2 + i) = (2 + i)2 (2 + i) = (4 + 4i − 1)(2 + i) = (3 + 4i)(2 + i) = 2 + 11i
4 + 3i
4 + 3i 3 − i
(4 + 3i)(3 − i)
15 + 5i
3
1
=
·
=
=
= +i
2
3+i
3+i 3−i
9−i
10
2
2
(2) Lösung 1 Da
3
(z − (2 − i))(z − (−2 + i)) = z 2 − (−2 + i + 2 − i)z − (2 − i)2
=z 2 − (4 − 4i + 1) = z 2 − (3 − 4i),
sind die beiden Loesungen z = 2 − i und z = −2 + i.
Lösung 2 Wir suchen zwei reelle Zahlen a und b, so dass (a + bi)2 = 3 − 4i. Dann gelten
die Gleichungen a2 − b2 = 3 und 2ab = −4. √
Deshalb b 6= 0, a = 2/b und a2 − 4/a2 = 3,
4
2
2
d.h. a − 3a − 4 = 0. Es folgt a = (3 ± 32 + 16)/2 = 3 ± 5, also entweder a2 = 4
oder a2 = −1. Da a reell ist, muss a2 = 4 sein. Wir finden zwei Paare von Lösungen:
a = 2, b = −1 und a = −2, b = 1.
3. Aufgabe. Diese Aufgabe hat zwei Teile.
(1) Es sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Wir definieren die Folge (sn )n∈N durch sn =
a0 + a1 + . . . + an . Zeige, dass (an )n∈N gegen Null konvergiert, wenn (sn )n∈N einen reellen
Grenzwert hat.
2
1. KLAUSUR (MAT121.1 ANALYSIS I)
(2) Die Folge (bn )n∈N sei durch
2n2 + 1
.
bn = k
n +1
bestimmt.
Für welche k ∈ N konvergiert diese Folge und gegen welche Grenzwerte?
Antwort.
(1) Sei x der Grenzwert der Summe. Dann ist an = sn − sn−1 ab n = 1. Da die
Folgen (sn )n∈N und (tn )n∈N mit t0 = 0 und tn = sn−1 für n ≥ 1 beide gegen x konvergieren,
konvergiert (an )n∈N gegen 0 = x − x.
(2) Ist k > 2, so konvergiert die Folge gegen Null, da ab n = 1
2n2 + 1
2n2 + 1
0 < bn = k
<
= 2n2−k + n−k ,
k
n +1
n
(bn )n∈N also eine majorante Nullfolge hat.
Ist k = 2, so folgt ab n = 1
2n2 + 1
2 + 1/n2
bn = 2
=
,
n +1
1 + 1/n2
der Grenzwert ist also 2, weil 1/n2 gegen 0 konvergiert.
Ist k schliesslich 0 oder 1, so folgt ab n = 1
2
2 + 1/n2
> n2−k ≥ n
bn = n2−k
k
1 + 1/n
2
und die Folge divergiert.