TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , F RANK VALLENTIN Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2002) — Aufgabenblatt 6 (3. Juni 2002) — — Präsenzaufgaben — Aufgabe 32. Grenzwertvariationen. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Die reelle Zahl a ∈ R heisst Grenzwert der Folge (an )n∈N genau dann, wenn ∃ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n ≥ Nε |a − an | ≤ ε ∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n ≥ Nε |a − an | ≤ ε ∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n ≤ Nε |a − an | ≥ ε ∀m ∈ N ∃ε > 0 ∀n ≥ m |a − am | ≤ ε ∀n ∈ N ∃ε > 0 ∀N ≥ ε |a − aN | ≤ n1 Aufgabe 33. Grenzwerte, die Dritte. 1.) Gegeben sei eine reelle Zahl a ∈ R. Für welches q ∈ R konvergiert die Reihe ∞ P q n gegen diese Zahl a? n=0 2.) Weisen Sie nach, dass die Reihe ∞ P n=1 Hinweis: Es gilt 1 n(n+1) = 1 n − 1 n(n+1) konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert. 1 n+1 . Aufgabe 34. Der Grenzwertsatz von C AUCHY. Es sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen, die gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge a1 + a2 + · · · + an n n∈N konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert. — Hausaufgaben — Aufgabe 35. Grenzwerte, die Vierte. Die untenstehenden Folgen und Reihen sind konvergent. Begründen Sie, warum, und bestimmen Sie ihre Grenzwerte für n → ∞. In Aufgabenteil a.) sei p ∈ N eine beliebige, aber fest gewählte natürliche Zahl. a.) 1+ 1 n p , b.) 1+ 1 2 + ··· + n 1 n , c.) ∞ X n=0 (−1)n 4n + 2 , 5n d.) ∞ X 1 , n(n + 1)(n + 2) n=1 Aufgabe 36. Polynomielles Drunter und Drüber. Gegeben seien die Polynome p(X) = aN X N + aN −1 X N −1 + · · · + a1 X + a0 , q(X) = bM X M + bM −1 X M −1 + · · · + b1 X + b0 ∈ R[X], mit aN , bM 6= 0. Für alle Zahlen n ∈ N gelte q(n) 6= 0. Diskutieren Sie das Verhalten der Folge p(n) q(n) n∈N . Wann konvergiert sie? Welchen Grenzwert besitzt sie in diesem Fall? Wann und wie divergiert sie? Hinweis: Unterscheiden Sie die drei Fälle N = M , N < M , N > M . Beweisen Sie die ersten beiden Fälle streng formal, argumentieren Sie im letzten Fall anschaulich. Aufgabe 37. ONE-TWO-THREE. Für x ∈ R sei bxc die größte ganze Zahl ≤ x (z.B. b1, 1c = 1, b−1, 1c = −2). Sei θ0 ∈ R\Z. Wir betrachten folgende rekursive Vorschrift: 1 θ1 = θ0 − bθ0 c 1 θ2 = θ − bθ1 c 1 .. . 1 θi = .. θi−1 − bθi−1 c . solange bis es ein θn ∈ Z gibt, was nicht notwendig passieren muss, d.h. die Rekursion muss nicht unbedingt abbrechen. Sei nun ai = bθi c, i = 0, 1, 2, . . . Dann gilt 1 θ0 = a0 + 1 a1 + a2 + 1 a3 + . .. + ai−1 + 1 θi Notation: [a0 , a1 , a2 , . . .] heißt Kettenbruchentwicklung von θ0 (“expansion of θ0 in a continued fraction”). Sie kann endlich ([a0 , a1 , . . . , an ] für ein n ∈ N), periodisch ([a0 , a1 , . . . , ak , b0 , b1 , . . . , bl , b0 , b1 , . . . , bl , . . .] für ein k ∈ N und ein l ∈ N) oder unendlich und nicht periodisch ([a0 , a1 , a2 , . . . , ]) sein. Berechnen Sie (z.B. mit einem Rechner) die Kettenbruchentwicklungen der Zahlen √ √ 1 6 b.) (1 + 5), c.) 3, d.) e, e.) π. a.) , 7 2 ... und nun anders herum: Lucky Luke ist nie überfordert: Selbst beim Tanzen denkt er über schwierige mathematische Probleme nach. Welche Zahl beschreibt der periodische Kettenbruch [1, 2, 3, 1, 2, 3, . . .]? Abgabe der Hausaufgaben: bis Montag, 10. Juni 2002, spätestens 12:15 Uhr, in den Briefkästen bei S0320.