Analysis in einer Variablen für Ingenieure

Analysis in einer Variablen für Ingenieure
Stefan Krause
31. Oktober 2011
Inhaltsverzeichnis
I
Definitionen und Sätze
3
1
Folgen
3
Verzeichnisse
5
Theoremverzeichnis
5
1
INHALTSVERZEICHNIS
ANALYSIS IN
2
R
Teil I
Definitionen und Sätze
1
Folgen
Definition 1.1 (Folge)
Eine Abbildung → M mit einer nicht leeren Menge M nennen wir eine Folge mit Werten in
M . Ist M gleich , oder sprechen wir auch von einer (rationalen, reellen oder komplexen)
Zahlenfolge. Statt des für Abbildungen üblichen x(n) für n ∈ schreiben wir bei Folgen
N
QR
C
N
xn
für das n-te Folgenglied. Die gesamte Folge bezeichnen wir mit
(xn )n .
Gelegentlich soll der Index n nicht bei 1, sondern schon bei 0 oder erst bei n0 loslaufen. Dafür
schreiben wir (xn )n∈N0 oder (xn )n≥n0 .
♦
Wir werden im Folgenden immer nur von „Folgen“ sprechen und meinen damit rationale, reelle
oder komplexe Zahlenfolgen. Wir formulieren alle Sätze, bei denen es möglich ist, sofort für
komplexe Folgen. In denjenigen Aussagen, die auf die Anordnung der reellen Zahlen zurückgreifen, sprechen wir explizit von reellen Folgen.
Definition 1.2 (Grenzwert)
Sei (xn )n eine Folge mit Werten in
(a) Wir nennen a ∈
K, wobei K ∈ {Q, R, C}.
K einen Grenzwert der Folge, falls
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0 :
|xn − a| < ε .
Wir schreiben dafür
lim xn = a ,
n→∞
xn −−−→ a ,
xn → a für n → ∞ .
n→∞
Wir sagen, dass die Folge gegen a konvergiert, und nennen sie konvergent.
(b) Gibt es kein a ∈
).
K
K, so dass (xn)n gegen a konvergiert, so heißt die Folge divergent (in
(c) Eine Folge mit Grenzwert 0 nennen wir eine Nullfolge.
Satz 1.3 (Eindeutigkeit)
Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig, sofern er überhaupt existiert. Andersherum ausgedrückt: Konvergiert eine Folge sowohl gegen a als auch gegen b, so gilt a = b.
Definition 1.4 (Divergenz gegen ±∞)
Sei (xn )n eine reelle Zahlenfolge.
3
1. FOLGEN
ANALYSIS IN
R
(a) Wir nennen die Folge divergent gegen +∞, falls
∀ R > 0 ∃ n0 ∈
N
∀ n > n0 :
xn > R .
Wir schreiben dafür
lim xn = +∞ ,
n→∞
xn −−−→ +∞ ,
xn → +∞ für n → ∞ .
n→∞
(b) Wir nennen die Folge divergent gegen −∞, falls
∀ R > 0 ∃ n0 ∈
N
∀ n > n0 :
xn < −R .
Wir schreiben dafür
lim xn = −∞ ,
n→∞
xn −−−→ −∞ ,
xn → −∞ für n → ∞ .
n→∞
Wir vermeiden explizit den auch gebräuchlichen Begriff der uneigentlichen Konvergenz; eine
Folge divergiert nach +∞ und konvergiert nicht dorthin. Man beachte, dass diese Definition
für komplexe Folgen keinen Sinn ergibt, weil die Symbole < und > auftreten.
Beispiel 1.5 (Konvergenz)
(a) Die Folge (xn )n mit xn = 1/n konvergiert gegen a = 0, ist also eine Nullfolge, denn: Zu
konstruieren. Es
einem beliebig vorgegebenem ε > 0 müssen wir ein passendes n0 ∈
gilt
1
1
|xn − a| < ε ⇐⇒
< ε ⇐⇒ n > .
n
ε
Wir können also n0 = ⌈1/ε⌉ wählen.
N
(b) Die Folge (xn )n mit xn = (−1)n /n ist ebenfalls eine Nullfolge, und zwar mit derselben
Rechnung wie in (a).
(c) Die konstante Folge (xn )n mit xn = 1 konvergiert klarerweise gegen a = 1. Zu jedem
ε > 0 kann jedes n0 ∈ gewählt werden.
N
(d) Die Folge (xn )n mit xn = (−1)n ist divergent, denn:
• Wäre der Grenzwert a = 1, so wählen wir ε = 1. Es müsste dann |xn − 1| < 1 für
alle n > n0 gelten. Für jedes ungerade n gilt aber |xn − 1| = |−1 − 1| = 2 > ε.
• Wäre der Grenzwert a 6= 1, so wählen wir ε = |1 − a|/2 > 0. Es müsste dann
|xn − a| < |1 − a|/2 für alle n > n0 gelten. Für jedes gerade n gilt aber |xn − a| =
|1 − a| > ε.
(e) Die Folge (xn )n mit xn = n ist divergent, und zwar divergent gegen +∞. Zu R > 0 kann
man ganz einfach n0 = ⌈R⌉ wählen.
4
Theoremverzeichnis
Definitionen
Definition 1.1
Definition 1.2
Definition 1.4
Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Divergenz gegen ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Sätze
Satz 1.3
Hauptsätze
Beispiele
Beispiel 1.5
Konvergenz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4