Ubungsblatt 3

Analysis (Mathematik 2 für Informatiker)
Wintersemester 2013
http://www.risc.jku.at/education/courses/ws2013/analysis/
Übungsblatt 3
Besprechung am 24.10.2013
Aufgabe 1 Untersuchen Sie, ob diese Folgen für n > 0 konvergieren, und bestimmen Sie im Fall
der Konvergenz den Grenzwert:
1
5
nk+k m
, k, m ∈ N \ {0},
an = √12 − √n2 +n+1
,
cn =
,
bn = − n5 + 2n
2n
qP
2
n
−2n+1)
dn = (−1)n (1 + n1 ),
en = (4n+1)(3n
,
fn = n k=1 k13 .
(5n−1)3
Aufgabe 2 Untersuchen Sie, für welche x ∈ R die Folgen konvergieren, und bestimmen Sie im
Fall der Konvergenz den Grenzwert:
n ,
(nk xn )n≥1 , k ∈ N.
(xn )n≥1 ,
− nx
n≥1
Aufgabe 3 Beweisen Sie Satz 5(2) aus der Vorlesung:
∞
Seien (an )∞
n=0 , (bn )n=0 konvergente Folgen mit a = lim an und b = lim bn .
n→∞
Zeigen Sie, dass
n→∞
n→∞
an · bn −−−−→ a · b.
Aufgabe 4 Ein Ford-Kreis ist ein Kreis mit Radius 2q12 und Mittelpunkt pq , 2q12 , wobei pq ein
Bruch mit teilerfremden, ganzen Zahlen p, q ist. Definieren Sie eine Funktion in Sage, welche zu
gegebenem p und q einen Ford-Kreis generiert.
Gegeben sei die Folge:
a0
=
p0
q0
=
an
=
pn
qn
=
1
2
(
pn−1 +1
qn−1 ,
1
NextPrime(qn−1 ) ,
+1
wenn pn−1
qn−1 6= 1,
sonst.
Mit NextPrime(q) wird die kleinste Primzahl größer als q bezeichnet. Schreiben Sie ein Programm
in Sage, welches die Ford-Kreise der (ersten n) Folgenglieder zeichnet.
Aufgabe 5 Konvergiert die Folge aus Aufgabe 4? Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den
Grenzwert. Definieren Sie eine Folge, welche die Durchmesser der oben verwendeten Ford-Kreise
auflistet. Jeder Durchmesser soll nur einmal vorkommen. Konvergiert die von Ihnen definierte
Folge? Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert.