Serie 7 - D-MATH

Prof. D. Salamon
Analysis I
MATH, PHYS, CHAB
HS 2014
Serie 7
1. (a) Die Riemannsche ζ-Funktion ist für s > 1 definiert durch die konvergente1 Reihe
ζ(s) :=
Zeigen Sie die Identität
∞
X
1
.
ns
n=1
∞
X
3
1
= ζ(2)
2
(2n − 1)
4
n=1
(b) Zeigen Sie
∞
X
1
1
=
n(n
+
1)(n
+
2)
4
n=1
(c) Wir bezeichne mit fn die n-te Fibonacci Zahl. Zeigen Sie
∞
X
1
=1
f f
n=0 n n+2
2. Es bezeichne (fn ) die Folge der Fibonacci-Zahlen und
f (z) =
∞
X
fn z n
n=0
(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius ρ der Potenzreihe f und zeigen Sie, dass sie für
|z| < ρ durch die Relation
1
f (z) =
1 − z − z2
gegeben ist.
(b) Verifiziern Sie diese Beziehung mit der in Serie 2 hergeleiteten explizen Formel


√ !n+1
√ !n+1
1  1+ 5
1− 5

fn = √
−
2
2
5
1 Die Konvergenz für s = 2 haben wir in Serie 2, Aufgabe 6 gesehen. Für allgemeines s > 1 zeigt man die
Konvergenz mit dem gleichen Argument.
1
3. (a) Beweisen Sie die partielle Summationsregel
n
X
ak+1 (bk+1 − bk ) = an+1 bn+1 − a1 b1 −
k=1
n
X
(ak+1 − ak )bk
k=1
(b) Für welche z ∈ C existiert
∞
X
zk
k=1
k
4. Q
Sei (an ) eine Folge reeller Zahlen mit nicht-negativen Gliedern. Das unendliche Produkt
∞
n=1 ist definiert als Grenzwert der Folge der Partialprodukte
pn :=
n
Y
(1 + ak )
k=1
falls dieser Grenzwert existiert. Zeigen Sie, dass die Summe
wenn der Grenzwert
∞
Y
(1 + an ) := lim pn
P∞
n=1
an genau dann konvergiert,
n→∞
n=1
existiert.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion exp : R → (0, ∞) strikt monoton wachsend ist.
5. Sei (pk ) die Folge der Primzahlen und JN die Menge der natürlichen Zahlen, deren Primfaktorzerlegung ausschliesslich die Faktoren {pk | 1 ≤ i ≤ N } enthält. Zeigen Sie für beliebiges
N ∈ N und s ∈ Q ∩ (1, ∞) die Gleichheit
X
n−s =
n∈JN
N
Y
1
1 − p−s
k
k=1
und folgern Sie daraus die Euler’sche Produktformel
∞
Y
1
1
=:
−s
N →∞
1 − pk
1 − p−s
k
k=1
k=1
ζ(s) = lim
N
Y
6. Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heisst Lipschitzstetig auf X wenn es eine Konstante L ≥ 0 gibt, sodass
dY (f (x), f (y)) ≤ L · dX (x, y)
für alle x, y ∈ X. Geometrisch bedeutet dies, dass die Abstandsverzerrung unter der Abbildung f beschränkt ist.
(a) Zeigen Sie, dass jede Lipschitz-stetige Abbildung f insbesondere stetig ist.
(b) Welche der folgenden Abbildungen f : [0, 1] → R ist Lipschitz-stetig, welche ist stetig?
i. f (x) := x2
√
ii. f (x) := x
(
1/x x 6= 0
iii. f (x) :=
0
x=0
Abgabe: Freitag, den 07. November 2014.
2