Lösungsvorschläge HA4 _Aufgabe 2 und 3

Elemente der Analysis WS 08/09
Lösungsvorschläge zur Hausaufgabe 4
2.
Einschachtelungssatz
In der Vorlesung habt ihr den Einschachtelungssatz für Nullfolgen und seinen Beweis kennen
gelernt. Der folgende Satz ist allgemeiner gefasst:
Es sind die Folgen <an> und <bn> gegeben. Die Folge <xn> wird durch die Folgen <an> und
<bn> eingeschachtelt, d.h. es existiert ein N so dass für alle n > N gilt: a n ≤ xn ≤ bn
Die Folgen <an> und <bn> sind außerdem konvergent, und zwar gegen denselben
Grenzwert c. Was kannst du über den Grenzwert der Folge <xn> sagen? Beweise den Satz.
Beweis
Voraussetzung
<an> hat den Grenzwert c.
⇔
Zu jedem ε > 0 existiert ein Na, so dass für alle n
> Na gilt:
|an – c| < ε ⇔ - ε < an – c < ε
<bn> hat den Grenzwert c. ⇔
Zu jedem ε > 0 existiert ein Nb, so dass für alle n
> Nb gilt:
|bn – c| < ε ⇔ - ε < bn – c < ε
Für alle n > N gilt: a n ≤ xn ≤ bn
Blick auf das Ziel des Beweises
<xn> hat den Grenzwert c. D.h. zu jedem ε > 0 existiert ein Nx, so dass für alle n > Nx
gilt:
|xn – c| < ε
„Schluss der Lücke“ zwischen Voraussetzung und Ziel
- Es gilt für alle n > N: an ≤ xn ≤ bn ⇔ an – c ≤ xn – c ≤ bn – c
- Wähle Nx = max (Na, Nb, N).
- Weil <an> und <bn> den Grenzwert c haben, gilt für alle n > Nx:
-ε < an – c ≤ xn– c ≤ bn – c < ε ⇔ - ε < xn – c < ε ⇔ |xn – c| < ε
- D.h. für alle n > N x gilt: |xn– c| < ε.
Fazit: < x n > hat den Grenzwert c.
q.e.d
3.
Konvergente Folgen
Betrachte die Folgen:
<an| an =
n3
3n
>
<bn| bn =
sin(n )
n
>
a. Gib den Grenzwert der Folgen an.
lim
<an> = 0
lim
<bn> = 0
n →∞
n →∞
b. Beweise deine Entscheidung, indem du den „Einschachtelungssatz“ benutzt.
<an>
Für die Folge <an> gilt:
an > 0 für alle natürlichen Zahlen n
Für die Folge <an> gilt:
n3
3n
2
≤ n n für alle n > 1.
2
Zwischenüberlegungen:
n3
3n
(2 )
n
3
2
n
≤ nn ⇔ n2 ≤ 3n ⇔ n ≤ 3
2
n
2
(2 )
n
Beweise per Vollständiger Induktion: n ≤ 3 für alle n > 1
(2 )
2
2 ≤ 3 = 2,25
IA: n=2
(2 )
k
IV: Angenommen die Behauptung gilt für k, d.h. k ≤ 3
IS:
(2 )
k
k + 1 ≤ 3 + 1 nach IV
(2 )
k
k +1
k
k
k
k
Vergleiche (3 ) + 1 und (3 )
= (3 ) ⋅ 3 = (3 ) ⋅ (1 + 1 ) = (3 ) + 1 ⋅ (3 ) .
2
2
2
2
2
2
2
2 2
k
Mit k >1 gilt auch 1 ⋅ (3 ) > 1.
2 2
k
k +1
k + 1 ≤ (3 ) + 1 ≤ (3 )
2
2
k +1
Was ist das angestrebte Ziel? Antwort: k + 1 ≤ 3
3
2
Zwischenfazit: n n ≤ n n für alle n > 1
3
2
<bn>
2
< n n > ist eine Nullfolge
2
3
2
Einschachtelung: 0 ≤ n n ≤ n n
3
2
3
Fazit: < n n > ist eine Nullfolge.
3
− n1
Für die Folge <bn> gilt:
sin(n )
n
≤
für alle natürlichen Zahlen, weil -1 ≤
sin(n) für alle natürliche Zahlen.
sin(n )
n
Für die Folge <bn> gilt:
1
n
≤
für alle natürlichen Zahlen, weil sin (n)
≤ 1 für alle natürliche Zahlen.
Einschachtelung:
− n1
≤
sin(n )
n
≤
1
n
für alle natürlichen Zahlen n > n0=0
Fazit: < − n1 > und < 1n > sind Nullfolgen,
Einschachtelungssatz auch <bn> eine Nullfolge.
also
ist
nach
dem