Grenzwert - Antonkriegergasse
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Mathematik Grenzwert: Definition Grenzwert Beispiele Von diesen Folgen haben einige einen Grenzwert, einige nicht. Versuche durch Einsetzen immer größerer Werte für n den Grenzwert zu erraten, falls es einen gibt. 1. lim n ° 2. lim n ° 3. lim n ° 2n 2 = __________ n + 10 n 1 2 n 3 3 2n n existiert = __________ 10 5. lim 120 0 = __________ n n 0 = __________ 5n + 1 4. lim n ° ° nicht existiert 6. lim ( 1,6)n = __________ 2,5 = __________ n ° nicht Definition (schlecht) Unter dem Grenzwert einer Folge an versteht man diejenige Zahl a, an die sich die Folgenglieder unendlich nah annähern. In dieser Definition kommt das Wort „unendlich“ vor. Das ist schlecht, unendlich ist keine Zahl, die greifbar ist und mit der man rechnen oder gar etwas beweisen kann. Wie könnte eine „juristisch haltbare“ Version dieser Definition aussehen? Definition (gut) Eine Zahl a heißt Grenzwert einer Folge an, wenn der Abstand von an zu a ab einer bestimmten Nummer kleiner wird als jede noch so kleine Zahl ε. Die Mathematikerin sagt auch: „Fast alle Folgenglieder liegen in der ε-Umgebung von a.“ Fast alle = alle bis auf endlich viele Der Grenzwert von Der Abstand von 4n + 1 ist 4. Wie kann man das beweisen? n 4n + 1 zu 4 muss sehr klein werden. Wie schreibt man einen Abstand auf „mathematisch“? n Abstand = Betrag von Endpunkt – Anfangspunkt Dass die Punkte hier Zahlen und keine Vektoren sind, ist egal. Also: Der Abstand ist 4n + 1 4 und dieser Abstand soll nun sehr klein werden. Kleiner als … sagen wir mal n die sehr kleine Zahl 0,00001. 0,00001 ist also hier unser ε. So sieht also die Rechnung aus: 4n + 1 4 < 0,00001 n Seite 1 von 2 Hü: Beispiel 3, 4 und 5 genau so mit ε = 0,00001 rechnen. Nimm beim Beispiel 4 statt dem nicht existierenden Grenzwert die Zahl 1000. Seite 2 von 2
