Präsenzübung 10 Lösungsskizzen - Fakultät für Mathematik

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Lösungsskizzen zur Präsenzübung 10
Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik
im Wintersemester 2015/2016
Fakultät für Mathematik
Universität Bielefeld
Veröffentlicht am 07. Februar 2016 von:
Mirko Getzin
E-Mail: [email protected]
Homepage: https://www.math.uni-bielefeld.de/~mgetzin/
Tutor zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016.
Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das
Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung beim Verständnis der Vorlesungsinhalte darzustellen und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen)
zu skizzieren.
Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses
Dokuments erlaubt. Angehängt befindet sich das Aufgabenblatt, sowie der pdf-Ausdruck von
gegebenenfalls verwendeten Tabellenblättern. Die Tabellenblätter sind im ods-Format auf der
angegebenen Homepage zu finden.
1
Lösungsskizzen
Lösung zur Aufgabe 1 (Eintrittswahrscheinlichkeit mit Chebyshev).
Zwecks eines sinnvollen Ergebnisses ändern wir die Aufgabenstellung: Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert E(X) = 1 und Varianz V(X) = 0, 9.
Dann können wir die Wahrscheinlichkeit wie in der Präsenzübung 09 mit Hilfe der ChebyshevUngleichung (für das Komplement) nach unten hin abschätzen und erhalten mit Anwendung
der Monotonie von P:
P(0 ≤ X ≤ 2) ≥ P(0 < X < 2)
= P(−1 < X − 1 < 1)
= P(|X − 1| < 1)
= 1 − P(|X − E(X)| ≥ 1)
V(X)
ε2
0, 9
= 1 − 2 = 0, 1.
1
≥1−
Wir haben also ε = 1 erkannt und entsprechend Chebyshev angewandt. Die Wahrscheinlichkeit
für das Eintreten von Realisierungen x von X im Intervall [0, 2] liegt also bei mindestens 0,1.
Lösung zur Aufgabe 2 (Grenzwerte).
Wir bestimmen nun Grenzwerte von Zahlenfolgen mit Hilfe von den Grenzwertsätzen und dem
“Trick der höchsten Potenz“.
a) Es ist an :=
√1
n
für alle n ∈ N. Man schreibe nun die Wurzel als Potenz mit 1/2 im
Exponenten, das heißt an =
1
1
n2
1
α
n→∞ n
. Für α = 1/2 folgt also lim an = 0, da lim
n→∞
= 0 für alle
α > 0. Die Folge ist konvergent mit Grenzwert 0.
Alternativ nutze man die Definition der Folgenkonvergenz und wähle im Beweis n0 = N (ε) =
d ε12 e.
b) Es ist bn :=
1
(1
n2
+ n − 2n2 ) =
1
n2
+
1
n
− 2 für alle n ∈ N. Nach Grenzwertsätzen gilt dann
bn → 0 + 0 − 2 = −2 für n → ∞. Die Folge ist konvergent mit Grenzwert -2.
c) Die Folge cn = n1 (4−n2 ) ist divergent. Dies kann man daran erkennen, dass der Polynomgrad
im Zähler echt-größer ist als der Polynomgrad im Nenner. Ein formaler Beweis funktioniert,
indem man zeigt, dass cn unbeschränkt ist, d.h. für jedes C > 0 existiert ein N ∈ N, so dass
cN ≥ C. Konstruiere beispielsweise das N durch das Lösen einer quadratischen Ungleichung
2
(p-q-Formel) und erhalte N :=
d −C
2
±
q
c2
4
+ 4e. Dieses N existiert für jedes C > 0, also ist cn
unbeschränkt. Also ist cn bestimmt divergent.
d) Für die Folge dn betrachte man eine Fallunterscheidung für n = 2k und n = 2k + 1 für
k ∈ N, das heißt für gerade und ungerade n ∈ N. Dann erhält man
2
=0
k→∞ 2k
= lim 0 = 0.
lim d2k = lim
k→∞
lim d2k+1
k→∞
k→∞
Da für beide Fälle der Grenzwert gleich ist, muss auch dn gegen 0 konvergieren für n → ∞.
Lösung zur Aufgabe 3 (Konvergenzbeweis per Definition - Für Fortgeschrittene).
Es sei (an )n∈N eine konvergente, reelle, nicht-negative Zahlenfolge, das heißt an ≥ 0 für alle
n ∈ N und lim an = a. Sei ferner der Grenzwert a ≥ 0.
n→∞
√
√
Zeige: lim an = a.
n→∞
Beweis: Wir führen einen Konvergenzbeweis per Definition der Folgenkonvergenz. Sei hierzu
ε > 0 beliebig. Da (an ) eine konvergente Folge ist gilt für alle ε0 > 0, dass ein N 0 (ε0 ) ∈ N
existiert, so dass für alle n ≥ N 0 (ε0 ) gilt |an − a| < ε0 .
Wähle nun n0 = N (ε) = N 0 (ε02 ). Dann gilt für alle n ≥ n0 :
√
√
√ ( an − a) · (√an + a) an − a √
√
1
1
√
√ < ε0 · √
√ ≤ ε0 √ = ε
| an − a| = = √
√
an + a
an + a
| an + a|
a
Dabei wurde im ersten Schritt eine 1-Erweiterung vorgenommen und anschließend die Konvergenz (ε0 ) von (an ) ausgenutzt. Wir haben effektiv die Beschränktheit nicht benötigt.
Da ε > 0 beliebig, folgt die Behauptung für alle ε > 0.
3
Universität Bielefeld
G. Elsner
Wintersemester 2015/16
Präsenzübungen zur Vorlesung
Anwendungen der Mathematik
Blatt 10
Aufgabe 1
Geben Sie für eine Zufallsvariable mit Erwartungswert 1 und Varianz 9 mithilfe der ChebyshevUngleichung eine möglichst große untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit P (0 ≤ X ≤ 2)
an.
Aufgabe 2
Entscheiden Sie, ob die folgenden Zahlenfolgen konvergieren und bestimmen Sie ggf. den jeweiligen Grenzwert! Begründen Sie Ihre Antwort!
2
1
1
1
n , falls n gerade
cn = (4 − n2 )
dn =
bn = 2 (1 + n − 2n2 )
an = √
0, sonst.
n
n
n
Aufgabe 3
Gegeben sei eine konvergente reelle Zahlenfolge (an )n∈|N mit an ≥ 0 und
√
√
Sie, dass in diesem Fall a ≥ 0 und lim
an = a gilt.
lim an = a. Zeigen
n→+∞
n→+∞
√
√
Hinweis: Stellen Sie mithilfe der dritten binomischen Formel eine Beziehung zwischen | an − a|
und |an − a| her und verwenden Sie die Tatsache, dass konvergente Folgen beschränkt sind .
4
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