Analysis I - TU Berlin - Institut für Mathematik

Technische Universität Berlin
WS 02/03
Fakultät II – Institut für Mathematik
Prof.Dr. G. Frank / J. Meyer
Sekr. MA 8-2
www.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS02/AnalysisI
5. Übung ”Analysis I ”
1.) (Fibonacci- Zahlen und goldener Schnitt)
Wir betrachten die rekursiv definierte Folge (an )n∈N der Fibonacci- Zahlen: a0 = 0;
a1 = 1; an+2 = an+1 + an , n ∈ N.
(a) Zeigen Sie: an =
√1
5
√ 1+ 5 n
2
−
√ 1− 5 n
.
2
(b) In der Architektur der Antike und der Renaissance spielte der goldene Schnitt
eine hervorragende Rolle. Die Strecke AB sei durch den Punkt T nach dem
goldenen Schnitt geteilt, wenn T B : AT = AT : AB. Setzen wir als Grösse
AB = 1,√ so ist zu zeigen, daß für die Grösse τ der Streckenlänge AT gilt:
τ = −1+2 5 .
(c) Der Zusammenhang des goldenen Schnitts mit der Fibonacci- Folge ist gegeben durch: lim an /an+1 = τ . Leiten Sie dieses, bereits von J. Kepler erahnte
n→∞
Resultat her.
2.) (Kettenbrüche und iterierte Wurzeln)
(a) Vorwiegend in der älteren Literatur findet man unendliche Kettenbrüche, so
zum Beispiel:
1
1+
1
2+
1
2+
2+
1
2+···
Wir verstehen darunter den Grenzwert der rekursiven Folge a0 = 1; an+1 =
1
, natürlich nur, falls dieser existiert.
1 + 1+a
n
Zeigen Sie, daß die Folge (an )n∈N konvergiert. Bestimmen Sie zunächst ein
q mit 0 < q < 1, so daß |an+1 − an | < q|an − an−1 | gilt und zeigen Sie
hiermit, daß (an )n∈N eine Cauchy-Folge bildet. Berechnen Sie den Grenzwert
für n → ∞.
(b) Berechnen Sie die iterierte Wurzel“:
”
r
q
√
1+ 1+ 1+···
Machen Sie sich vorher klar, durch welche Rekursion dieser für uns nur
suggestiv zu verstehende Ausdruck gegeben wird. Vergessen Sie nicht, einen
strengen Konvergenzbeweis zu führen.
3.) (Konvergenzuntersuchung)
Entscheiden Sie, welche Folgen konvergieren.
√
√
(a) an = n − n − 1.
n
k
P
(b) an =
1 + k1
k=1
√ √
√
(c) an = n( n + 1 − n)
n
(d) an = n+1
n−1
(e) an =
nn +(n−1)n +···+1n
nn
4.) (Satz von Stolz)
Ziel dieser Aufgabe ist der Beweis des folgenden
Satz. Es sei (yn )n∈N∗ streng monoton wachsend und unbeschränkt, yn > 0. Ist
n−1
= a, so gilt auch lim xynn = a.
(xn )n∈N∗ eine weitere Folge, für die gilt: lim xynn −x
−yn−1
n→∞
n→∞
Zeigen Sie hierfür der Reihe nach:
(a) Mit den Festlegungen x0 = y0 = 0, an = xn − xn−1 , bn = yn − yn−1 reicht es
zu zeigen: Aus den Vorausseztungen: lim abnn = a, bn > 0 für alle n ∈ N∗ und
n→∞
Pn
b
ist
bestimmt
divergent
folgt lim xynn = a.
ν=1 ν n∈N∗
n→∞
(b) Mit den Bezeichnungen aus (4a) gilt:
xn
− a ≤ 1
n
yn
P
bν
ν=1
X
n
aν
bν − a
bν
ν=1
(c) Zu ε > 0 existiert ein N0 ∈ N, so daß für alle n ≥ N0 gilt:
1
n
P
ν=1
bν
X
n
aν
bν − a < ε
bν
ν=1
Nutzen Sie die Voraussetzungen und beachten Sie die Tatsache abnn − a ≤ K
für eine Konstante K > 0 und alle n ∈ N∗ .
np +(n−1)p +···+1p
np
n→∞
(d) Als kleine Anwendung bestimme man lim
für ein festes p ∈ N.
Abgabe: 25.11- 29.11.2002, in den Tutorien.
Die Klausuren zum Erwerb eines Übungsscheins finden statt am:
1.Klausur: 20.2.03 HE 105 13-15 Uhr
2.Klausur: 9.4.03 HE 105 11-13 Uhr
Sie müssen nur eine von beiden Klausuren bestehen, um einen Übungsschein zu erhalten.