Musterklausur zur Modulabschlußprüfung “Analysis I” im

Musterklausur zur Modulabschlußprüfung “Analysis I”
im Bachelorstudiengang Mathematik (Lehramt)
1. Aufgabe (3 Punkte) Beweisen Sie, daß für alle natürlichen Zahlen n gilt
n
X
1
j 3 = n2 (n + 1)2 .
4
j=1
2. Aufgabe (6 Punkte) Untersuchen Sie, ob die folgenden (eigentlichen oder uneigentlichen)
Grenzwerte existieren, und berechnen Sie diese Grenzwerte gegebenenfalls:
a) lim
x→∞
x+1
x−1
x
,
b) lim
x↓0
1
1
1
1
2− x + 3 x
3− x − 2 x
,
c) lim
x→0
1
1
1
1
2− x + 3 x
3− x − 2 x
.
3. Aufgabe (6 Punkte) Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren:
a)
X j+1
,
2j 2 + 1
b)
Xj+1
2j
.
4. Aufgabe (5 Punkte)
√ Berechnen Sie die Tangente im Punkt x = 4, y = 3 an den Graphen der Funktion y = 25 − x2 , −5 ≤ x ≤ 5. In welchem Punkt schneidet diese Tangente die
x-Achse?
5. Aufgabe (5 Punkte) Erklären Sie, warum der Graph der inversen Funktion zu einer bijektiven Funktion y = f (x), x ∈ R, die Spiegelung des Graphen von f an der Geraden y = x ist.
6. Aufgabe (3 Punkte) Die Menge der rationalen Zahlen ist dicht in der Menge der reellen
Zahlen. Was heißt das?
7. Aufgabe (3 Punkte) Es seien x eine reelle Zahl und x1 , x2 , . . . eine Folge reeller Zahlen.
Was bedeutet dann die Schreibweise
∞
X
xj = x?
j=1
8. Aufgabe (9 Punkte) Formulieren und beweisen Sie die sogenannte Produktregel (Formel
für die Ableitung des Produktes zweier differenzierbarer Funktionen).
Für die Klausur sind 90 Minuten Arbeitszeit vorgesehen. Als Hilfsmittel sind Taschenrechner
sowie ein Blatt mit persönlichen Notizen zugelassen.