Übung Zahlentheorie, SS 2004 Blatt 3 20. Unter den
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Übung Zahlentheorie, SS 2004 Blatt 3 20. Unter den Fibonacci-Zahlen (Fi )i≥1 versteht man die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . ., die durch F1 = F 2 = 1 und Fi = Fi−1 + Fi−2 rekursiv definiert ist. Seien u > v > 0 ganze Zahlen und der Euklidische Algorithmus für (u, v) benötige n Divisionsschritte (inklusive dem letzten Schritt mit Rest 0). Zeigen Sie, dass u ≥ F n+2 und v ≥ Fn+1 . Hinweis: Vollständige Induktion nach n. 21. Wieviele Divisionsschritte kann der Euklidische Algorithmus zur Berechnung von (u, v) f ür zwei beliebige ganze Zahlen 0 < v < u ≤ 100 höchstens benötigen? Hinweis: Verwenden Sie die Aussage von Beispiel 20. Zusatzfrage: Was würde sich für u < v ändern? 22. Im Skriptum zur Vorlesung finden Sie folgenden Satz (Satz 1.58): • Die Zahl 2n−1 (2n − 1) mit n ∈ und 2n − 1 prim ist eine vollkommene Zahl. • Jede gerade vollkommene Zahl ist von dieser Form. Bereiten Sie den Beweis so vor, daß Sie ihn frei vortragen und jeden Schritt im Detail erklären und begründen können. Hinweis: b 2n −1 so wie b sind zwei verschiedene Teiler von b. 23. Wie Beispiel 22, nur für Bemerkung 1.67: Sei p(x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und sei p(k) prim für alle nichtnegativen ganzen Zahlen k. Dann ist p(x) ein konstantes Polynom. 24. Zeigen Sie (direkt, ohne Umweg über Primzahlsatz ), dass lim x→∞ x/(ln x − B) R x dt = 1. 2 ln x 25. Erklären Sie den Begriff des Cauchy’schen Hauptwertes“ eines bestimmten Integrales und ” zeigen Sie, dass der Limes Z 1−ε Z x dt dt + li x = lim ε→0 ln t 1+ε ln t 0 für alle x > 0, x 6= 1 existiert (für x = 1 haben wir li 1 = −∞). Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, dass es reicht, den Fall x = 2 zu betrachten. Versuchen Sie dann, mittels Substitution die Integrationsgrenzen beider Integrale anzugleichen, sodass Sie sie zusammenfassen können: Z 1 · · · = lim A(t) dt = · · · ε→0 ε Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass A(t) auf (0, 1] beschränkt ist (warum?), was sich am einfachsten dadurch bewerkstelligen lässt, indem man zeigt, dass lim A(t) t→0 existiert (warum?).
