¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Methoden der Chemie I

SoSe 2011
Blatt Nr. 9
01.06.2011
PD Dr. S. Grebenschikov
Prof. W. Domcke
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Methoden der Chemie I
Präsenzübungen
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die folgenden (evtl. einseitigen) Grenzwerte
p
√
√
(a) lim 4 − x2
(b) lim ( x + 1 − x)
(c) lim
5x2 − 10x
x→1 (x − 2)(2x − 5)
x→∞
x→2
5x2
− 10x
.
x→2 (x − 2)(2x − 5)
Hinweis zu (b) : Verwenden Sie die Identität a2 − b2 = (a + b)(a − b).
(d)
lim
Aufgabe 2
Gegeben sei die reelle Funktion
g(x) :=
x4 − 1
.
x2 − 1
(a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D(g).
(b) Diskutieren Sie die stetige Ergänzbarkeit von g an den Definitionslücken.
Aufgabe 3
Gegeben sei die reelle Funktion f (x) := |x| .
(a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D(f ) und überprüfen Sie, ob f in D(f ) überall stetig ist.
(b) Skizzieren Sie die Funktion im Bereich −3 ≤ x ≤ 3.
(c) Bestimmen Sie den Grenzwert
f (x0 + h) − f (x0 )
lim
für x0 < 0 und x0 > 0.
h→0
h
Aufgabe 4
Man zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes:
(a) Jede positive Zahl α hat eine Quandratwurzel, d.h. ∀α ∈ R+ ∃x ∈ R : x2 = α.
(b) Sei f : [0, 1] → [0, 1] stetig, dann gibt es x0 ∈ [0, 1] mit f (x0 ) = x0 . (Der Punkt x0 heißt
Fixpunkt von f .)
(c) Es gibt keine stetige Funktion f : R → R mit der Eigenschaft: ‘Zu jedem y ∈ R existieren genau
zwei Zahlen x ∈ R mit f (x) = y.’
Hausaufgaben
Aufgabe 5
Berechnen Sie die folgenden (eventuell einseitigen) Grenzwerte:
(a)
lim [ln (x2
x→−1
+ 4x + 3) − ln (x + 1)]
(b)
lim
x→ π2
1
tan x −
cos2 x
2
.
Aufgabe 6
Gegeben sei die reelle Funktion
f (x) :=
(
x·
0
p
1 + 1/x2
für
x 6= 0
.
x=0
(a) Bestimmen Sie die größtmöglichen Intervalle, auf denen f stetig ist.
(b) Berechnen Sie an den Unstetigkeitsstellen die rechts- und linksseitigen Grenzwerte von f , die
so definiert sind, dass jeweils nur Werte von x zugelassen sind, die kleiner (für linksseitige
Grenzwerte) oder größer (für rechtsseitige Grenzwerte) als x0 sind (siehe Definition im Skript).
(c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
Abgabe: Montag, 06.06.2011 in der Übungsstunde