Zufällige Graphen und Thresholdfunktionen Christine Schottmüller

Zufällige Graphen und Thresholdfunktionen
Christine Schottmüller
Gn,r := Zufälliger Graph mit n Ecken, in dem jede der möglichen
¡n¢
2 Kanten unabhängig mit Wahrscheinlichkeit r vorhanden ist.
Sei A Eigenschaft eines Graphen. p(n) heißt Thresholdfunktion (Schwellenwertfunktion) für A,
falls folgende Implikationen gelten:
r(n)
n→∞ p(n)
=0
r(n)
n→∞ p(n)
=∞
1. lim
2. lim
⇒
⇒
lim Ws{Gn,r hat A} = 0,
n→∞
lim Ws{Gn,r hat A} = 1.
n→∞
Beispiele:
A
Gn,r enthält einen Pfad der Länge k
Gn,r enthält eine Clique aus k Ecken
Gn,r ist nicht planar
p(n)
p(n) = n−(k+1/k)
2
p(n) = n− k−1
p(n) = n1
Beispiel zu den Beispielen:
A = {Gn,r enthält Clique aus 4 Ecken (K4 )}.
2
Sei X die Anzahl von K4 in Gn,r , dann gilt E[X] ∼ cn4 r6 = konstant, falls r ∼ n− 3 . Überprüfe
2
nun, ob p(n) = n− 3 eine Thresholdfunktion für A ist.
Benutzte Methoden:
1. Moment Method. Sei X N0 -wertig. Dann gilt : Ws{X > 0} ≤ E[X]. Zeige E[X] → 0.
ar[X]
2. Moment Method. Ws{X = 0} ≤ Ws{|X − E[X]| ≥ E[X]} ≤ VE[X]
2 .
2
Es gilt Ws{X = 0} → 0, falls E[X] → ∞ und V ar[X] = o(E[X] ).
Für Teilgraphen mit einer bestimmten Struktur existieren Thresholdfunktionen.
Definition: Sei G Graph mit V (G) = k, e(G) = l. Setze
2l
, m(G) := max{d(H) : H ⊂ G}.
(1)
k
G heißt balanciert, falls m(G) = d(G). G heißt strikt balanciert, falls gilt: d(H) = m(G) ⇒ H = G.
d(G) :=
k
Satz: G = Gn,p , H s.-b., V (H) = k, e(H) = l ≥ 2, |Aut(H)| = a. Für c > 0 setze p = cn− l , λ =
cl /a. Xn sei die Anzahl von H-Teilgraphen in G. Dann gilt
λk
.
k!
Folge von ZVen.
lim Ws{Xn = k} = e−λ
n→∞
Für den Beweis benutzter Satz: Sei (Xn )n≥0
Es gilt
λk
,
n→∞
n→∞
k!
für alle k ∈ N0 . Dabei ist E[(X)r ] := E[X(X − 1) · · · (X − r + 1)] das r-te faktorielle Moment.
lim E[(Xn )r ] = λr ∀r ∈ N0 ⇒ lim Ws{Xn = k} = e−λ