Theorie Grenzwerte von Funktionen I
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Gymnasium „Am Thie“ Blankenburg Theorie - Der Grenzwert von Funktionen Der Grenzwert einer Funktion im „Unendlichen“ Def.: Es sei f eine nach oben bzw. nach unten unbeschränkte Funktion. Eine Zahl g heißt Grenzwert von f für unbeschränkt wachsendes oder fallendes x ( x bzw. x ), wenn für jede Folge (xn) mit dem Grenzwert bzw. die Folge der zugehörigen Funktionswerte (f(xn)) gegen den Wert g konvergiert. Man schreibt: lim f ( x n ) g bzw. lim f ( x n ) g n n Vorgehensweise: 1) Man geht von einer beliebigen Grundfolge (xn), die gegen strebt aus. 2) Man bildet die zu der Grundfolge (x n) gehörende Folge der Funktionswerte (f(xn)). 3) Man prüft, ob jede dieser Folgen von Funktionswerten gegen denselben Grenzwert g konvergiert. Beispiel: Zu untersuchen ist die Funktion f mit f x 2 x 1 für x 1) Grund(Test)folge (x n) mit x n 10 2) f 10 n x n 2 10 n 1 2 10 n 1 1 1 n 2 n 2 n n 10 10 10 10 10 n n 1 lim 10 lim 2 2 n n 10 3) Beliebige Folge (xn) mit lim x n ; x n 0 n n 2 xn 1 1 f x n 2 xn xn 1 lim f ( x n ) lim 2 2 n n xn Auch hier geht es wieder um Termumformungen. Im obigen Beispiel haben wir eine einfache Polynomdivision vorgenommen oder den Bruch aufgesplittet. Allgemein wird vor allem das Ausklammern mit anschließendem Kürzen genutzt. (Aufpassen, dass der Nenner nicht 0 wird!!!) Hinweis 1: Wenn nicht anders gefordert, ist es ausreichend, mit der beliebigen Folge (x n) und mit Termumformungen zu arbeiten, von der Testfolge kann abgesehen werden. Hinweis 2: Existiert der Grenzwert einer Funktion, so kann immer sofort die Asymptotengleichung der Funktion f für x angegeben werden, im obigen Beispiel ist das y = 2. Hinweis 3: Es gelten auch hier die Grenzwertsätze. Hinweis 4: Eine Funktion muss nicht notgedrungen einen Grenzwert g für x besitzen. Sie ist in diesem Fall divergent. Ist eine Funktion divergent, bezeichnet man die Ergebnisse ∞ und -∞ als uneigentliche Grenzwerte. Solche Funktionen besitzen keine waagerechten Asymptoten.
