Theorie Grenzwerte von Funktionen I

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Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Theorie - Der Grenzwert von Funktionen
Der Grenzwert einer Funktion im „Unendlichen“
Def.: Es sei f eine nach oben bzw. nach unten unbeschränkte Funktion. Eine Zahl g heißt Grenzwert
von f für unbeschränkt wachsendes oder fallendes x ( x   bzw. x   ), wenn für jede
Folge (xn) mit dem Grenzwert   bzw.   die Folge der zugehörigen Funktionswerte (f(xn)) gegen
den Wert g konvergiert.
Man schreibt:
lim f ( x n )  g bzw. lim f ( x n )  g
n
n  
Vorgehensweise:
1) Man geht von einer beliebigen Grundfolge (xn), die gegen   strebt aus.
 
  
2) Man bildet die zu der Grundfolge (x n) gehörende Folge der Funktionswerte (f(xn)).
3) Man prüft, ob jede dieser Folgen von Funktionswerten gegen denselben Grenzwert g
konvergiert.
Beispiel: Zu untersuchen ist die Funktion f mit f  x   2 x  1 für
x
1) Grund(Test)folge (x n) mit x n  10
2)
 
f 10 n 
x 
n
2  10 n  1 2  10 n
1
1
1

 n  2 n  2 
n
n
10
10
10
10
 10 
n
n

 1  

lim 10  lim 2     2
n 
n  
 10  

3) Beliebige Folge (xn) mit lim x n  ; x n  0
n
n 
2  xn 1
1
f x n  
 2
xn
xn

1 
lim f ( x n )  lim  2    2
n 
n 
xn 

Auch hier geht es wieder um Termumformungen. Im obigen Beispiel haben wir eine einfache
Polynomdivision vorgenommen oder den Bruch aufgesplittet. Allgemein wird vor allem das
Ausklammern mit anschließendem Kürzen genutzt. (Aufpassen, dass der Nenner nicht 0 wird!!!)
Hinweis 1:
Wenn nicht anders gefordert, ist es ausreichend, mit der beliebigen Folge (x n) und mit
Termumformungen zu arbeiten, von der Testfolge kann abgesehen werden.
Hinweis 2:
Existiert der Grenzwert einer Funktion, so kann immer sofort die Asymptotengleichung der Funktion f
für x   angegeben werden, im obigen Beispiel ist das y = 2.
Hinweis 3:
Es gelten auch hier die Grenzwertsätze.
Hinweis 4:
Eine Funktion muss nicht notgedrungen einen Grenzwert g für x   besitzen. Sie ist in diesem
Fall divergent.
Ist eine Funktion divergent, bezeichnet man die Ergebnisse ∞ und -∞ als uneigentliche Grenzwerte.
Solche Funktionen besitzen keine waagerechten Asymptoten.
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