8.1. Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit beim Gesetz der

8.1. Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit beim Gesetz der grossen Zahlen. Sei Xn , n ∈ N, eine Folge unabhängiger, {0, 1}-wertiger Zufallsvariablen mit Bernoulli-Verteilung zum Parameter 1/2 1. Damit gilt insbesondere
1
1
, Var(Xn ) = , n ∈ N.
2
4
In diesem Fall ist nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen
"
#
N
1 X
1 lim P Xn − ≥ ǫ = 0, ǫ > 0.
n→∞
N
2
(2)
E[Xn ] =
2
n=1
Erste genauere Überlegungen zur Frage nach der Geschwindigkeit der Konvergenz
PN
von (1/N ) n=1 Xn gegen 1/2 folgen im vorliegenden Abschnitt 3.
Proposition. Sei αN , N ∈ N, eine Folge reeller Zahlen mit αN > 0, N ∈ N, und
limN →∞ αN = 0. Dann gilt:
#
(
"
√
N
1 X
1, falls αN N → ∞,
1 N →∞
√
→
Xn − ≤ αN
P (3)
N
2
0, falls αN N → 0 4.
n=1
Bemerkung. Als Konsequenz aus (3) scheint es zur genaueren Untersuchung der
PN
Fluktuationen von (1/N ) n=1 Xn um den Grenzwert 1/2 bei N → ∞ sinnvoll zu
√
P
5
sein, die Asymptotik von N (1/N ) N
n=1 Xn − (1/2) zu betrachten .
Beweis. Nach (2) und dem schwachen Gesetz der großen Zahlen
"
#
N
1 X
1
1 P Xn − ≥ αN ≤
2 N,
N
2
4α
N
n=1
6
gilt:
d.h.,
"
N
1 X
P Xn −
N
n=1
#
1
1 ≤ αN ≥ 1 − 2
2
4αN N
N →∞
→ 1,
√
falls αN N → ∞.
Damit ist der erste Teil von (3) bewiesen 7.
PN
Weiterhin ist die Zufallsvariable n=1 Xn binomialverteilt mit den Parametern
N und 1/2 8. Somit folgt:
"
#
" N
#
N
1 X
X
N 1 P Xn − ≤ αN N
Xn − ≤ αN = P N
2
2
n=1
n=1
1Vgl. Abschnitt 1.8, Beispiel (a).
2Vgl. Abschnitt 6.1.
3Insbesondere soll auch erläutert werden, warum als Skalierungsfaktor beim Zentralen Grenz√
wertsatz N in Erscheinung tritt.
˛
4Wegen (3) kann Pˆ˛˛(1/N ) PN X − (1/2)˛ ≤ α ˜ nur dann einen nichttrivialen Limes in
N
n=1
√
√ n
(0, 1) bei N → ∞ haben, wenn αN N = O(1), d.h., wenn αN = O(1/ N ).
5Aufgrund von (3) kann erwartet werden, daß
"
!
#
"
!
#
N
N
√
1 X
1 X
1
1
u
P
N
Xn −
≤u =P
Xn −
≤ √
N n=1
2
N n=1
2
N
bei N → ∞ für alle u ∈ (−∞, ∞) einen Grenzwert in (0, 1) besitzt.
6
Vgl. insbesondere (2) in Abschnitt 6.1.
7Offensichtlich gilt, falls 1/2 durch E[X ] ersetzt wird, dieser Teil von (3) für beliebige un1
abhängige, identisch verteilte, quadratintegrable Zufallsvariablen Xn , n ∈ N. Sie brauchen keine
Bernoulli-Verteilung zu besitzen.
8Vgl. Ein Einblick in den Aufbau und die Themen der Stochastik“, Abschnitt 2, (1) - (5).
”
1
2
N
1 N
=
k
2
{k:|k−(N/2)|≤N αN }
N
1 N
≤ 10 (2N αN + 1)
⌊N/2⌋ 2
r
r
r
√
2
2
2
N →∞ 11
=2
αN N +
∼
(2N αN + 1)
πN
π
πN
√
N →∞
→ 0, falls αN N → 0.
X
9
Damit ist auch der zweite Teil von (3) verifiziert.
9Diese Summe enthält höchstens 2N α + 1 Summanden.
N
10
Wegen der Symmetrie der Binomialkoeffizienten um N/2, d.h., weil
”
” “
“
N
N
=
(N/2) − α
(N/2) + α
` ´
für alle α ∈ R mit (N/2) ± α ∈ N0 , und da {0, 1, . . . , ⌊n/2⌋} ∋ k → n
für alle n ∈ N monoton
k
steigend ist. Diese Behauptung folgt aus
`n´
jnk
n!
(k + 1)!(n − k − 1)!
k+1
k ´
` n
=
− 1.
·
=
≤ 1, k = 0, 1, . . . ,
k!(n − k)!
n!
n−k
2
k+1
11
Wegen der Stirling Formel
lim
n→∞
Insbesondere beachte man, daß
“ N ” N gerade
N!
=
⌊N/2⌋
((N/2)!)2
“ n ”n
1√
= 1.
2πn
n!
e
N→∞
∼
√
√
2πN (N/e)N
2 N
= √
p
2 ,
( 2πN/2(N/(2e))N/2 )2
πN
und daß für ungerade N analoge Überlegungen durchgeführt werden können.
30. Januar 2008