¨Ubung Stochastik I

B. Schmalfuß
Paderborn, den 6.12.04
Übung Stochastik I
(9. Serie)
Wahrscheinlichkeitstheorie: Asymptotische Eigenschaften von
Zufallsvariablen
(I) Man beweise das Lemma von Borel-Cantelli:
Lemma: Es sei (Ai )i∈N eine Folge von Ereignissen. Dann gilt:
∞
X
P (Ai ) < ∞ ⇒ P (lim sup Ai ) = 0.
i→∞
i=1
(II) Es sei (Xn )n∈N eine Folge von paarweise unkorrelierten integrierbaren Zufallsvariablen mit
n
1 X
lim 2
V (Xi ) = 0.
n→∞ n
i=1
Man zeige, dass das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt. (Hinweis ChebyshevUngleichung)
(III) Es werden am Tag 2000 Chips produziert, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Chip zur Qualitätsklasse 1 gehört, 0.8 beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mehr als 1600 (genau 1600) Chips produziert werden,
die zur Qualitätsklasse 1 gehören? (Hinweise: Man interpretiere die Anzahl der
Qualität 1 Chips als binomialverteilte Zufallsvariable. Man wende den Satz vom
Moivre-Laplace an. Zur Berechnung von Binomial-Koeffizienten/ Fakultäten benutze man die Stirlingsche Formel.)
(1) Es sei (Pn )n∈N eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Rd , B d ), welche
schwach gegen des Wahrscheinlichkeitsmaß P konvergieren. Man zeige, dass für jede
offene Menge G und abgeschlossene Menge F gilt:
lim inf Pn (G) ≥ P (G),
lim sup Pn (F ) ≤ P (F ).
n→∞
n→∞
Weiterhin gilt:
lim Pn (A) = P (A)
n→∞
falls für den Rand ∂A von A gilt P (∂A) = 0.
(2) Man beweise die Umkehrung des Lemmas von Borel-Cantelli.
Es sei (Ai )i∈N eine Folge von Ereignissen, paarweise unabhängig. Dann gilt:
∞
X
P (Ai ) = ∞ ⇒ P (lim sup Ai ) = 1.
i→∞
i=1
1
(3) Es sei (Xn )n∈N eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit
1
1
P (Xn = n) = P (Xn = −n) =
, P (Xn = 0) = 1 −
.
2n log n
n log n
Man zeige, dass das schwache Gesetz der großen Zahlen, aber nicht das starke
Gesetz der großen Zahlen gilt.
(4) Das Intervall [0, 1] werde in n disjunkte Teilintervalle mit Länge p1 , · · · , pn , pi >
0 unterteilt. Die Entropie der Unterteilung sei
n
X
h=−
pi log pi .
i=1
Es seien X1 , X2 , · · · unabhängige Zufallsvariablen, die der Gleichverteilung U (0, 1)
genügen. Weiterhin sei Zm (i) die Anzahl der X1 , · · · , Xm , die im i-ten Intervall
liegen. Zeige, dass für
n
Y
Z (i)
Rm =
pi m
i=1
gilt:
lim
m→∞
log Rm
= −h.
m
(5) Katastrophen treten zu den zufälligen Zeiten T1 , T2 , · · · auf, wobei Ti = X1 +
· · ·+Xi gilt. Die Zufallsvariablen Xi seien positiv, unabhängig und identisch verteilt
und besitzen einen endlichen Erwartungswert. Es sei weiterhin N (t) := max{n :
Tn ≤ t}. Zeige
lim N (t) = ∞,
lim
t→∞
t→∞
N (t)
1
=
t
EX1
fast sicher.
(6) Für x > 0 und n → ∞ zeige man
µ ¶
Z x
X
1 2
1
n
√ e− 2 u du
∼ 2n
k
2π
√
−x
1
1
k:|k− 2 n|≤ 2 x n
und
X
√
k:|k−n|≤x n
nk
∼ en
k!
Z
x
−x
1 2
1
√ e− 2 u du.
2π