Blatt 03 - Mathematik, TU Dortmund

TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Lehrstuhl IV
Markov-Prozesse
SS 2015, Blatt 3
Prof. Dr. M. Voit / Dr. S. Mentemeier
Themen: Gleichgradige Integrierbarkeit, Vervollständigung, Stoppzeiten,
0-1-Gesetz von Kolmogorov
Abgabetermin: Dienstag, 28. April 2015, 10:00 Uhr
Aufgabe 8
4 Punkte
Sei (Xn )n∈N ⊂ L1 (Ω, A, P ) und X ∈ L1 (Ω, A, P ) Zufallsvariablen sowie F ⊂ A
eine Unter-σ-Algebra.
Zeigen Sie: Gilt limn→∞ Xn = X im L1 -Sinne, dann folgt
lim E(Xn |F) = E(X|F)
n→∞
Aufgabe 9
im L1 -Sinne.
4 Punkte
Sei I 6= ∅ eine Indexmenge, und seien (Xi )i∈I sowie (Yi )i∈I gleichgradig integrierbare Familien von Zufallsvariablen.
Zeigen Sie: Dann ist auch die Familie (Xi + Yi )i∈I gleichgradig integrierbar.
Aufgabe 10
4 Punkte
Sei I = [0, T ] für ein T > 0 oder I = [0, ∞). Sei (Ω, A, P, (Ft )t∈I ) ein filtrierter
Wahrscheinlichkeitsraum. Sei
N := {B ⊂ Ω : ∃A ∈ A mit B ⊂ A und P (A) = 0}
die Menge aller Teilmengen von P -Nullmengen. Definiere
A := {B ∪ C : C ∈ A, B ∈ N }
und für jedes t ∈ I
F t := {B ∪ C : C ∈ Ft , B ∈ N }.
Zeigen Sie:
(a) Durch P (B ∪ C) := P (C) für B ∈ N , C ∈ A wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) definiert.
(b) (F t )t∈I ist eine Filtration (von A).
(c) Ist (Xt )t∈I ein (Ft )t∈I -Martingal, so ist (Xt )t∈I auch ein Martingal bzgl.
(F t )t∈I .
Aufgabe 11
4 Punkte
Sei (Xt )t≥0 ein Rd -wertiger stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden, adaptiert
bzgl. einer vollständigen Filtration (Ft )t≥0 .
Zeigen Sie: Für jede abgeschlossene Menge A ∈ Rd ist
TA := inf{t ≥ 0 : Xt ∈ A}
eine Stoppzeit. Tipp: Approximieren Sie A durch offene Mengen.
Aufgabe 12
4 Punkte
Sei (Xn )n∈N eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit kanonischer Filtration (Fn )n∈N . Die terminale σ-Algebra der Folge (Xn )n∈N ist definiert als
\
T :=
Tn
für Tn := σ(Xn , Xn+1 , . . . ).
n∈N
(a) Zeigen Sie: Für jedes A ∈ T gilt E(1A |Fn ) → 1A f.s. für n → ∞. Folgern
Sie, dass P (A) ∈ {0, 1}. Tipp: Nutzen Sie, dass Tn+1 unabhängig ist von Fn
für alle n ∈ N.
Von nun an seien die Xi zusätzlich
Pnidentisch verteilt mit endlichem Erwartungswert
und Partialsummenfolge Sn := i=1 Xi .
(b) Zeigen Sie, dass lim supk→∞ Sk /k und lim inf k→∞ Sk /k messbar sind bzgl. Tn
für jedes n ∈ N. Folgern Sie aus (a), dass diese Limiten f.s. konstant sind.
Bei dieser Aufgabe dürfen Sie das starke Gesetz der großen Zahlen nicht nutzen.
Sie soll als Hinführung zu einem alternativen Beweis des starken Gesetzes dienen
(auf Blatt 4).
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