10. ¨Ubungsblatt ” Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik II)“

Philipps-Universität Marburg
WS 2009/2010
Fachgebiet Mathematik
Dozent: Prof. Dr. Steffen Dereich
Ausgabe: Do 17.12.2009
Tutor: Bastian Hackler
Abgabe: Fr 15.01.2010 vor der Vorlesung
10. Übungsblatt Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik II)“
”
Hausaufgaben
1. Hausaufgabe:
4 Punkte
Es sei X = (Xn )n∈N eine Folge unabhängiger reeller Zufallsvariablen und Q
(Fn )n∈N die vom
Prozess X erzeugte Filtration, d.h. Fn := σ(X1 , ..., Xn ), und es sei Mn := ni=1 Xi (n ∈ N).
Welche Eigenschaften muss die Folge (Xn ) erfüllen, damit (Mn )n∈N ein (Fn )-Martingal ist?
Hinweis: Berücksichtigen Sie auch, dass der Erwartungswert wohldefiniert sein muss, d.h. dass
Mn integrierbar sein muss.
2. Hausaufgabe:
4 Punkte
2
2
Es sei (Mn )n∈N ein L -Martingal, d.h. ein Martingal mit E(Mn ) < ∞ für alle n ∈ N. Man zeige,
dass für natürliche Zahlen n1 < n2 < n3 < n4 folgendes gilt:
(a) E[(Mn2 − Mn1 )2 ] = E[Mn22 − Mn21 ]
(b) E[(Mn4 − Mn3 )(Mn2 − Mn1 )] = 0.
3. Hausaufgabe:
6 Punkte
Es seien I = Z ∩ (−∞, 0], (Fn )n∈I eine Filtration und (Mn )n∈I ein (Fn )-Martingal, d.h. (Fn )n∈I
ist eine aufsteigende Folge von σ-Algebren und für alle n < m aus I gilt
Xn ∈ L1 (Ω, Fn , P ) und E[Xm |Fn ] = Xn .
(a) Man zeige, dass X−∞ = limn→−∞ Xn f.s. existiert und es eine F−∞ -messbare Version des
Limes gibt.
(b) Was kann man über den Limes aussagen, wenn Fn = σ(Xm : m ≤ n) für eine Folge
(Xn )n∈I von unabhängigen Zufallsvariablen ist?
4. Hausaufgabe:
6 Punkte
Seien Dn = {[0, 2−n ), [2−n , 2 · 2−n ), . . . , [(2n − 1)2−n , 1)} (n ∈ N) die dyadischen Intervale auf
[0, 1) und ν ein endliches Maß auf [0, 1), das absolutstetig bzgl. des Lebesguemaßes λ ist. Man
beweise mithilfe eines Martingalarguments, dass die Folge der Funktionen fn : [0, 1) → [0, ∞),
gegeben durch
µ(D)
fn (x) =
= 2n µ(D) für x ∈ D und D ∈ Dn ,
λ(D)
für Lebesgue fast alle x gegen eine messbare Funktion f konvergiert, die gerade eine Version der
Radon-Nikodym Dichte dµ
dν ist.
Hinweis: Man interpretiere hierzu fn als Zufallsvariable auf dem W’raum ([0, 1), B[0,1) , λ|[0,1) ).
Das Team der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie wünscht Ihnen allen
Frohe Weihnachten und einen guten Start ins neue Jahr !