Technische Universität München Zentrum Mathematik

Prof. Dr. Rupert Lasser
Paul Bergold
Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Stochastik für Lehramt Gymnasium − Blatt 17
Sommersemester 2017
Lösungshinweise
Hausaufgabe 49
Wir betrachten ein Spiel, das nach folgenden Regeln funktioniert:
Jeder Spieler erhält zu Beginn ein Spielfeld, auf dem Zahlen in fünf Zeilen und fünf
Spalten in folgender Weise angeordnet sind:
a11
a12
a13
a14
a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
a33
a34
a35
a41
a42
a43
a44
a45
a51
a52
a53
a54
a55
Dabei seien die Zahlen in Zeile i = 1, ..., 5 paarweise verschieden und zufällig aus der
Menge {(i − 1) · 15 + 1, ..., (i − 1) · 15 + 15} entnommen. Der Spielleiter zieht nun 22
verschiedene Zahlen zwischen 1 und 75. Ein Spieler gewinnt, falls alle Zahlen gezogen
werden, die auf seinem Spielbrett in einer Zeile (ohne Reihenfolge) stehen. Genauer
gesagt sei {b1 , ..., b22 } die Menge der Zahlen, die der Spielleiter gezogen hat. Dann hat
ein Spieler gewonnen, falls {ai1 , ai2 , ai3 , ai4 , ai5 } ⊂ {b1 , ..., b22 } für mindestens ein i ∈ [5]
gilt.
1. Wie viele Möglichkeiten gibt es ein Spielbrett anzuordnen?
2. Wie viele Möglichkeiten hat der Spielleiter die Zahlen zu ziehen?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit der ein Spieler gewinnt? Würden Sie an
diesem Spiel teilnehmen?
Hinweis zur Teilaufgabe 3: Betrachten Sie für i = 1, ..., 5 das Ereignis Ai : Alle Zahlen
”
aus Zeile i wurden gezogen.“
Lösung zu Hausaufgabe 49
Teilaufgabe 1: Für jede der fünf Zeilen werden unabhängig voneinander fünf Zahlen,
mit Beachtung der Reihenfolge, aus einer Menge mit 15 Zahlen gezogen. Somit gibt es
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5
insgesamt (155 ) = (15 · 14 · 13 · 12 · 11)5 Möglichkeiten.
Teilaufgabe 2: Der Spielleiter zieht 22Zahlen,
ohne Beachtung der Reihenfolge, aus einer
75
Menge mit 75 Zahlen. Somit gibt es 22 Möglichkeiten.
Teilaufgabe 3: Mit Hilfe der Ereignisse Ai aus dem Hinweis ist die Gewinnwahrscheinlichkeit gegeben durch
5
[
P
!
Ai
i=1
wobei P die Gleichverteilung auf Ω4 (75, 22) ist. Gesucht ist also #
Formel für Inklusion und Exklusion erhalten wir
#
5
[
S5
i=1
Ai . Mit Hilfe der
!
Ai =
i=1
#I+1
X
(−1)
\
#
Ai .
i∈I
∅6=I⊆[5]
Insbesondere gilt für ∅ =
6 I ⊂ [5] mit #I ∈ [4]:
!
#
\
Ai
i∈I
5
=
#I
!
!
!
#I · 5
#I · 5
75 − #I · 5
5
=
22 − #I · 5
#I
!
!
75 − #I · 5
22 − #I · 5
sowie #(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 ) = 0. Somit erhalten wir
5
[
!
5
# Ai =
1
i=1
!
!
70
5
−
17
2
!
!
65
5
+
12
3
!
!
60
5
−
7
4
!
55
.
2
Die Wahrscheinlichkeit mit der ein Spieler gewinnt liegt demnach bei
P
5
[
i=1
!
Ai =
5
1
70
17
−
5
2
65
12
+
5
3
60
7
−
75
22
5
4
55
2
≈ 0.8%.
Hausaufgabe 50
Ein faires Tetraeder, beschriftet mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4, wird zweimal geworfen.
Die Zufallsvariable Zi , i = 1, 2 bezeichne die Augenzahl beim i-ten Wurf. Des Weiteren
sei X − := Z1 − Z2 die Differenz, sowie X + := Z1 + Z2 die Summe der beiden Würfe.
1. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X − .
2. Sind die Zufallsvariablen X − und X + unkorreliert?
Wir wiederholen das oben beschriebene Experiment n mal unabhängig voneinander.
Dabei entstehen die unabhängigen Zufallsvariablen X1− , X2− , ..., Xn− . Im Folgenden bezeichne Y := n1 (X1− +...+Xn− ) die mittlere Differenz der n Würfe. Wie oft muss gewürfelt
werden, wenn Y mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% um weniger als 2 vom Erwartungswert abweichen soll?
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Lösung zu Hausaufgabe 50
Teilaufgabe 1: Die Zufallsvariablen Z1 und Z2 sind identisch und unabhängig verteilt.
Deshalb gilt
E[X − ] = E[Z1 − Z2 ] = E[Z1 ] − E[Z2 ] = E[Z1 ] − E[Z1 ] = 0,
V[X − ] = E[(X − − E[X − ])2 ] = E[(X − )2 ]
= E[(Z1 − Z2 )2 ] = E[Z12 ] − 2E[Z1 Z2 ] + E[Z22 ]
= 2E[Z12 ] − 2E[Z1 ]E[Z2 ] = 2 E[Z12 ] − E[Z1 ]2
2 !
5
15
=2
−
2
2
5
= .
2
Teilaufgabe 2: Für die Kovarianz von X − und X + erhalten wir
Cov[X − , X + ] = E[X − X + ] − E[X − ]E[X + ] = E[X − X + ]
= E[(Z1 − Z2 )(Z1 + Z2 )] = E[Z12 ] − E[Z22 ] = 0.
Deshalb sind X − und X + unkorreliert.
Für die Zufallsvariable Y folgt mit der Ungleichung von Chebyshev
1 5
·
V[Y ]
5
n 2
P (|Y − µY | < 2) ≥ 1 − 2 = 1 −
=1−
2
4
8n
Wir suchen also die kleinste natürliche Zahl n sodass
5
1−
≥ 0.95 ⇔ n ≥ 12.5.
8n
Es muss also mindestens 13 mal gewürfelt werden.
Hausaufgabe 51
Geben Sie ein Beispiel für zwei unkorrelierte Zufallsvariablen an, die abhängig sind.
Lösung zu Hausaufgabe 51
Es sei Ω = {−1, 0, 1} und P die Gleichverteilung auf Ω. Außerdem sei
X : Ω → R, X(ω) = ω,
Y : Ω → R, Y (ω) = 1{0} (ω) :=

1,
falls ω = 0,
0, sonst.
Offensichtlich gilt E[X] = 0 und da X(ω)Y (ω) = 0 für alle ω ∈ Ω erhalten wir
Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] = 0 − 0 = 0.
Des Weiteren gilt
1 1
1
6=
· = P (X = 0)P (Y = 1).
3
3 3
Somit sind die Zufallsvariablen unkorreliert und abhängig.
P (X = 0, Y = 1) = P ({0}) =
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