Pn Pn Pn X - TU Berlin - Institut für Mathematik

Technische Universit
at Berlin
SS 2011
Fakult
at II { Institut f. Mathematik
Dozent: Prof. Dr. M. Scheutzow
Ausgabe: Mi 08.06.2011
Assistent: M. Wilke Berenguer
Abgabe: Mi 15.06.2011
 bungsblatt Wahrscheinlichkeitstheorie 1\
9. U
"
Statistik: Sch
atzprobleme
Gesamtpunktzahl: 20
Punkte
1. Hausaufgabe:
5 Punkte
2. Hausaufgabe:
5 Punkte
Seien X1 ; : : : ; Xn unabh
angige normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswerten i :=
E[Xi ] und Varianzen 1 > i2 := V (Xi ) > 0Pfur 0 i n. Auerdem seien 1 ; : : : ; n ;
1 ; : : : ; n reelle Zahlen mit der EigenschaftP ni=1 i2 i i = 0. P
angig
Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen X := nk=1 k Xk und Y := nk=1 k Xk unabh
sind.
Bei einer Qualit
atskontrolle wurden 100 Fertigregale gepr
uft. In dieser Stichprobe lieen sich 96 von ihnen ohne Hinzuziehung eines Tischlers aufbauen. Bestimmen sie eine
Maximum-Likelihood-Sch
atzung f
ur die Anzahl der Regale unter den produzierten 10:000
Exemplaren, die man ohne Tischler aufbauen kann. Geben Sie ein geeignetes statistisches
Modell an.
3. Hausaufgabe:
Seien X1 ; : : : ; Xn unabh
angig auf fa; : : : ; bg mit unbekanntem
Zufallsgr
oen. Als Sch
atzer f
ur := (a + b)=2 bieten sich an
Y
1
:=
2
max
1in
und
Z :=
X
1
n
i
+ min
X
n
1in
X
X
a; b
2N
5 Punkte
gleichverteilte
i
i
i=1
Untersuchen Sie diese Sch
atzer auf Erwartungstreue.
4. Hausaufgabe:
5 Punkte
Seien X1 ; : : : ; Xn u.i.v. Zufallsvariablen mit Werten in E := f1; : : : ; k g.
Sei ferner P(X1 = i) = pi f
ur i 2 E . Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schatzer
f
ur p = (p1 ; : : : ; pk ).