Galton-Watson

Prof. Dr. A. Wakolbinger und HD Dr. J. Geiger
Seminar über Wahrscheinlichkeitstheorie
Ein Vortrag von Johannes Cuno
Galton-Watson-Bäume
Wir wollen untersuchen, wie sich die Generationengrößen in einer Population
auf lange Sicht entwickeln, wenn jedes Individuum mit der gleichen Verteilung
aber vollkommen unabhängig Nachkommen hervorbringt. In unserem Modell
beginnen wir in Generation Null mit einem einzigen Individuum.
Definition (Galton-Watson-Prozess).
P
Seien pk ∈ [0, 1] (wobei k ∈ N0 ) mit
pk = 1 und sei L eine N0 -wertige
Zufallsvariable mit der Verteilung:
Ws ({L = k}) = pk
(n)
Seien (Li )i,n∈N unabhängige Kopien unserer Zufallsvariablen L. Dann wird
der Galton-Watson-Prozess (Zn ) induktiv definiert durch:
Z0 ≡ 1,
Zn+1 =
Zn
X
(n+1)
Li
i=1
Bemerkungen.
1. Der Galton-Watson-Prozess (Zn ) ist eine Markovkette.
2. Das Ereignis { ∃ n ∈ N0 : Zn = 0} nennen wir Aussterben.
3. Die Erzeugendenfunktion unserer Zufallsvariablen L lautet:
∞
X
f : [−1, 1] → R, f (s) = E sL =
pk sk
k=0
Nachdem wir uns mit der obigen Definition ein wenig angefreundet haben,
stellen sich drei wichtige Fragen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir
irgendwann aussterben? Gehen wir einfach mal davon aus, wir wüssten, dass
wir nicht aussterben. Folgt daraus dann schon Zn → ∞? Kann man im Falle
Zn → ∞ vielleicht sogar schon eine Aussage darüber machen, wie schnell die
Zn wachsen?
1. Lemma. Sei p1 6= 1. Dann gilt, gegeben dem Ereignis, dass (Zn ) nicht
ausstirbt, Zn → ∞ fast sicher.
2. Satz. E sZn = f ◦ . . . ◦ f (s) =: f (n) (s)
3. Corollar. Ws(Aussterben) = limn→∞ f (n) (0) =: q
4. Satz. Sei p1 6= 1. Dann gelten die beiden Aussagen:
(a) q ist der kleinste Fixpunkt von f im Intervall [0, 1]
(b) q = 1 ⇔ f 0 (1) ≤ 1
Hinweis. Da f zwar stetig ist, aber an der Stelle 1 im Allgemeinen nicht
differenzierbar, bezeichnen wir hier mit f 0 (1) die linksseitige Ableitung.
Es gilt:
X
f 0 (1) = E [L] =
kpk =: m
Sprechweise. Unseren Galton-Watson-Prozess (Zn ) nennen wir subkritisch, wenn m < 1, kritisch, wenn m = 1, und superkritisch, wenn m > 1
ist.
5. Satz. Wenn 0 < m < ∞, dann ist (Zn /mn ) ein Martingal.
Dieses Martingal ist nichtnegativ, also konvergiert es nach dem Konvergenzsatz für Martingale fast sicher gegen eine endliche Zufallsvariable W .
Wenn W > 0 ist, wächst unser Galton-Watson-Prozess (Zn ) bis auf einen
zufälligen Faktor wie die Folge (mn ).
Frage. Wann aber ist W > 0 und wann ist W = 0?
6. Sätzchen. Sei 0 < m < ∞. Dann gilt, gegeben dem Ereignis, dass (Zn )
nicht ausstirbt, entweder W = 0 fast sicher oder W > 0 fast sicher.
7. Kesten-Stigum-Theorem (ohne Beweis). Sei 0 < m < ∞. Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Ws({W = 0}) = q
(b) E[W ] = 1
(c) E[L log+ L] < ∞
8. Seneta-Heyde-Theorem (ohne Beweis). Sei 0 < m < ∞. Dann gibt
es Konstanten cn sodass gilt:
(a) lim Zn /cn existiert fast sicher in [0, ∞)
(b) Ws({lim Zn /cn = 0}) = q
(c) cn+1 /cn → m