Mathematik I

Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
PD Dr. J. Knobloch
WS 2009/10
FZT, MB, MTR, OTR, LA
Mathematik I
Übungsserie 9 (7.12. - 11.12.2009)
1. Quadratische Formen, symmetrische Matrizen, Hauptachsentransformation
Man gebe für die Kurve 2. Ordnung mit
a) 5x2 − 6xy − 3y 2 + 2x + 18y − 43 = 0 ,
b) 9x2 − 24xy + 16y 2 + 4x + 3y = 0 ,
c) x2 + 4xy + 4y 2 − 5 = 0
die Gleichung in der Form xT Ax + aT x + α0 = 0 an. Dabei sei A ∈ R2×2 eine
( )
x
symmetrische Matrix und x = y .
Man bestimme Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren der symmetrischen Matrix
A und gebe eine Normalfom der obigen Gleichung an, die man als Ergebnis einer
Hauptachsentransformation erhält. Was für ein Typ Kegelschnitt liegt vor?
2. Quadrik im R3
Man gebe für die Quadrik im R3 (Fläche 2. Ordnung) mit der Gleichung
5x2 + 6y 2 + 7z 2 − 4xy + 4yz − 10x + 8y + 14z − 6 = 0
eine Normalform und den Typ der Quadrik an sowie das Koordinatensystem, in dem
die Quadrik in Normalform beschrieben wird.


5 −2 0
Bemerkung: Die Matrix A= −2 6 2  hat die Eigenwerte λ1 = 3, λ2 = 9
0
2 7

2 −1 2
2 −1  ein maximales orthonorund λ3 = 6 und mit B=(b1 , b2 , b3 ) = 13  2
−1 2
2
males System von Eigenvektoren.
Zahlenfolgen
3. Welche der folgenden Zahlenfolgen (an ) , n ∈ N, sind
I) konvergent, wie lautet der Grenzwert lim an ,
n→∞
II) bestimmt divergent, wie lautet der uneigentliche Grenzwert lim an ,
n→∞
III) unbestimmt divergent, falls an gleich den folgenden Ausdrücken ist (Ü1, 7.3. a-g):
a) (100 + n−1 ) ,
2
b) 3−n [2n + (−2)n ] ,
−1
d) (3n3 − 2n2 + 2n + 4) (4n4 + n2 − n)
−1
f) (n3 + 4n2 − 2n) (n2 − 2n + 4)
,
c) 2−n [2n + (−2)n ] ,
−1
e) (2n3 − n2 − n + 1) (3n3 − 1)
,
g) (2n + 1) (3n)−1 + 3n (2n − 1)−1 .
,
1
4. Gegeben sind die Folgen (an ) und (bn ) , n ∈ N, mit
an =
12 +22 +···+(n−1)2
n3
bzw. bn =
12 +22 +···+n2
n3
.
Unter Verwendung der Formel für die Summen der ersten n Quadratzahlen,
∑n
1
2
k=1 k = 6 n (n + 1) (2n + 1) ,
zeige man:
a) Die Folge (an ) ist monoton wachsend und die Folge (bn ) monoton fallend.
b) Für alle natürlichen Zahlen n ist an < bn .
c) Die Folge (bn − an ) ist eine Nullfolge.
Bemerkung: Wegen a), b) und c) bilden die Folgen (an ) und (bn ) eine Intervallschachtelung. Man bestimme ∩ [an , bn ] .
n∈N
5. Gegeben ist die Zahlenfolge (an ) , n ∈ N, mit an =
(−1)n
n2
∑n
k=1
k
Man untersuche die Folge auf Monotonie, Beschränktheit, Häufungspunkte und Konvergenz. Man gebe jeweils Teilfolgen an, die konvergent sind.
6. Man bestimme folgende Grenzwerte:
∑
a) lim n12 nk=1 (2k − 1), b ) lim √2n3n2 −1 ,
n→∞
n→∞
√
5n2 −2n
√ n+1 .
2
2
n→∞ n −n 4n +6
c ) lim
7. Gegeben sind die Folgen (an ) , (bn ) und (cn ) mit n ∈ N und
√
√
√
√
√
√
an = n + 1000 − n ,
bn = n + n − n ,
cn = n +
n
1000
−
√
n.
Man zeige: Für 1 ≤ n < 106 ist an > bn > cn ; aber es gilt lim an = 0, lim bn =
n→∞
n→∞
und lim cn = ∞.
1
2
n→∞
8. Man bestimme von der Zahlenfolge (an ) , n ∈ N, mit
an =
sin(n)+cos3 (n)+n
n
den Grenzwert a .
9. Man entscheide, ob die Folge (an )n∈N konvergent, bestimmt divergent oder unbestimmt
divergent ist, und bestimme ggf. den Grenzwert:
Es sei an = xn1−1 bzw. an = yn1−1 mit einer streng monoton fallenden und gegen
1 konvergenten Zahlenfolge (xn )n∈N bzw. mit einer streng monoton wachsenden und
gegen 1 konvergenten Zahlenfolge (yn )n∈N .
2