Periodische Zahlen

Mathematik I für inf/swt
WS 2007/08
Periodische Zahlen
Jede reelle Zahl kann als Dezimalbruch dargestellt werden. z.B.
1
= 0, 125,
8
1
= 0, 142857,
7
√
2 = 1, 4142 . . .
√
2 bedeutet . . .“, dass die Folge der Nachkommastellen nie aufhört und nie
”
√
2 = 1, 4142 . . .“ bedeutet nach Definition folgendes:
periodisch wird. Die Gleichung
”
√
Wir definieren eine Folge (an ): Um an zu erhalten, wird in der Darstellung von 2 nach der
Im Fall von
n-ten Nachkommastelle abgeschnitten: a1 = 1, 4; a2 = 1, 41; a3 = 1, 414; a4 = 1, 4142; . . ..
√
Dann bedeutet
2 = 1, 4142 . . .“ die Aussage:
”
√
2 = lim an .
n→∞
Genauso ist die Darstellung von
1
zu verstehen:
7
1
= lim bn ,
n→∞
7
wobei b1 = 0, 1; b2 = 0, 14; b3 = 0, 142; . . . ; b7 = 0, 1428571; . . .
Da die Darstellung periodisch ist, kann das Bildungsgesetz für die Folge (bn ) angegeben
werden. Für die Folgenglieder b6 , b12 , . . . gilt:
b6 = 0, 142857; b12 = 0, 142857142857; b18 = 142857142857142857; . . .
b6k = 0, 142857
.{z
. . 142857}
|
k-mal
Wir wissen, dass die Folge (bn ) konvergent ist. Daher reicht zur Grenzwertbestimmung die
Berechnung des Grenzwerts der Teilfolge (b6k )k∈N :
(bn ) konvergent ⇒ (b6k )k∈N konvergent und lim b6k = lim bn
k→∞
Mit der Formel für die geometrische Summe folgt
142857 142857
142857
+
+ ...+
6
12
10
10
106k
k
X
1
= 142857
106l
b6k =
l=1
k
1 X
1
= 142857 · 6
6(l−1)
10 l=1 10
1
n→∞
Mathematik I für inf/swt
WS 2007/08
j=l−1
=
=
k→∞
→
=
j−1
k−1 1 X 1
142857 · 6
10 j=0 106
k
1 1 − 1016
142857 · 6
10 1 − 1016
1
1
142857 · 6
10 1 − 1016
142857
999999
Nun müssen wir nur mehr kürzen, um das Ergebnis
lim b6k =
k→∞
1
7
zu erhalten.
Aufgabe: Bestimmen Sie eine möglichst weit gekürzte Darstellung als Bruch von
a) x = 0, 18 ;
b) x = 3, 102 ;
c) x = 0, 5882352941176470 .
2