Universität Würzburg Institut für Mathematik Prof. Dr. H. Pabel Dr. T

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Prof. Dr. H. Pabel
Dr. T. Hoheisel
WS 2012/13
12. Dezember 2012
Analysis I
7. Übungsblatt (Lösungshinweise)
7.1 Es gilt
−1 ≤ ak ≤ 5/2 ∀k ∈ N,
somit ist (ak ) beschränkt. Zudem hat (ak ) die Häufungspunkte
a1 := 0 und
a2 := 2,
denn a2k+1 →k→∞ 0 und a2k →k→∞ 2. Andere Häufungspunkte kann es nicht geben (klar ?). Somit
ist dann auch
lim inf ak = 0 und lim sup ak = 2,
k→∞
k→∞
insbesondere ist (ak ) nicht konvergent.
7.2
a) Für n ∈ N definiere die Folge (ak ) durch

1 falls k ∈ nN + 1,



 2 falls k ∈ nN + 2,
ak :=
..

.



n falls k ∈ nN + n.
Dann sind genau die Werte aus {1, . . . , n} die Häufungspunkte von (ak ) (klar) ? Für n = 0
definieren wir
ak := k (k ∈ N).
Dann hat (ak ) keine Häufungspunkte (klar ?).
b) Wir wählen als Folge die Abzählung der positiven rationalen Zahlen à la Cantor, siehe Abb.
1. Dann tritt insbesondere jede natürliche Zahl unendlich oft auf und ist somit insbesondere
Häufungspunkt.
7.3
a) Ist M = M , so ist M abgeschlossen, da M nach Aufgabe 5.1 b) abgeschlossen ist.
Sei nun M abgeschlossen. Dann ist X\M offen, d.h. nach Aufgabe 5.1 c) gilt X\M = (X ˚
\ M)
˚
Wie im Beweis von Aufgabe 5.1 b) gezeigt, gilt X \ M = (X \ M ), also ist X \ M = X \ M ,
d.h. M = M .
b) Sei M zunächst kompakt, also insbesondere abgeschlossen und beschränkt (vgl. Satz von
Heine-Borel (Satz 2.1.4)). Nun sei (xk ) ⊂ M beliebig. Da M beschränkt ist, ist (xk ) beschränkt und somit existiert nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass (Satz 2.2.8) eine konvergente Teilfolge (xkj )j∈N mit limj→∞ xkj ∈ M . Da M abgeschlossen ist gilt nach a) M = M ,
1
1
1
2
1
3
1
4
2
1
2
2
2
3
2
4
3
1
3
2
3
3
3
4
4
1
4
2
4
3
4
4
...
..
.
Abbildung 1: Abzählung von Q+
also limj→∞ xkj ∈ M , was zeigt, dass M folgenkompakt ist.
Ist umgekehrt M nicht kompakt, dann ist M nach dem Satz von Heine-Borel nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt: Ist M nicht beschränkt so existiert für alle k ∈ N ein xk ∈ M
mit |xk | > k. Die Folge (xk ) ⊂ M besitzt keine Häufungspunkte, da jede Teilfolge unbeschränkt ist und somit nicht konvergent, also ist M in diesem Fall nicht folgenkompakt.
Ist M nicht abgeschlossen, so stimmt M nach a) nicht mit M überein . Damit existiert eine
konvergente Folge (xk ) ⊂ M mit Grenzwert x ∈ Rn \ M . Da (xk ) außer x keinen HP hat, hat
(xk ) ⊂ M keine HPe in M , folglich ist M nicht folgenkompakt.
7.4 Es gilt
bk+1 − ak+1 =
p
√ p
1
1 √
(ak − 2 ak bk + bk ) = ( ak − bk )2 ≥ 0
2
2 |
{z
}
6=0
für alle k ∈ N. Damit ist
ak ≤ bk
Ferner gilt
∀k ∈ N.
(1)
√ (1)
ak
ak+1
= √ ≥ 1 ∀k ∈ N,
ak
bk
also ist (ak ) monoton steigend. Ferner ist
(1)
1
(bk − ak ) ≥ 0,
2
bk − bk+1 =
somit ist (bk ) monoton fallend. Zusammen mit (1) erhalten wir, dass (ak ) monoton steigend und
(durch b) nach oben beschränkt ist, und analog ist (bk ) monoton fallend und (durch a) nach unten
beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium aus Satz 2.2.6 existieren
α := lim ak
und β := lim bk .
k→∞
k→∞
Nach den Rechenregeln für konvergente Folgen aus Satz 2.2.3 folgt nun
β = lim bk+1 = lim
k→∞
k→∞
d.h. α = β.
2
1
1
(ak + bk ) = (α + β),
2
2