Grenzwerte

Grenzwerte von Folgen
Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsmenge die natürlichen Zahlen
sind. Man könnte sie also so schreiben: f(n) = ..... (Funktionsterm). Es ist
aber üblich sie in der Form an = ... zu schreiben. Der Index ist also das
Argument der Funktion. a1, a2, a3, heißen Glieder der Folge, sie entsprechen
also den Funktionswerten der Funktion an der Stelle n.
Beispiele:
1. Ein sehr einfaches Beispiel ist an = n. Es ist dann: a1 = 1, a2 = 2,
a3 = 3 usw. Die Folge strebt gegen keinen endlichen Wert, sondern gegen
unendlich, man sagt sie hat keinen Grenzwert oder sie divergiert.
2. Sei nun an = 1n , dann ist a1 = 11 , a2 = 12 , a3 = 13 , usw. Man kann erkennen,
dass die Folgenglieder immer kleiner werden und gegen 0 streben. Sie
erreichen den Wert aber nicht, aber sie können nicht negativ werden.
Es gibt kein Folgenglied, dass 0 wird. Aber man kann auch nicht ein
kleinstes Folgenglied angeben. Wählt man eine noch so kleine Zahl z.B.
0,0000000000000000000000000000001 so kann man immer ein Glied der Folge
angeben, das noch kleiner als diese Zahl ist. Entscheidend ist also, dass
"fast alle" Glieder in der unmittelbaren Nähe des Grenzwertes liegen.
Dabei bedeutet "fast alle" unendlich viele bis auf endlich viele
Ausnahmen. Man berücksichtige also, dass auch 103000 Glieder nur endlich
viele sind und diese Zahl klein gegenüber unendlich ist.
33
3. Sei nun an = nn +- 13
. Hat diese Folge einen Grenzwert ? Man kann leicht die
ersten Glieder der Folge ausrechnen. Wichtiger ist aber folgende
Argumentation: Da n  8 strebt wird 33 gegenüber n sehr klein. Das Gleiche
gilt für 13. Daher wird der Wert an etwa nn = 1. d.h. der Grenzwert ist 1.
lim a n  1
n 
Man sagt die Folge konvergiert gegen 1 und schreibt:
2
3
4. Wir wählen nun die Folge: an = nn ++ 13
. Wenn wir jetzt die gleiche
Argumentation anwenden, strebt an gegen: an = Error!= n. n strebt aber gegen
unendlich. D.h. diese Folge besitzt keinen Grenzwert, man sagt, sie ist
divergent.
5. Daraus folgt, dass Folgen, die aus einem Quotienten bestehen, in dem das
Polynom im Zähler von höherem Grad ist als das Nennerpolynom, keinen
Grenzwert besitzen können.
6. Ist nun an = nn2 ++ 23
13 , so gilt, dass die Folge für sehr große Werte von n
in der Nähe von 1n liegt. Diese Folge strebt aber gegen 0 und damit auch
an.
3
2 + 23
2
7. Betrachten wir abschließend die Folge bn = 3n6n3- -12n
n2+ 13 . 12n kann zwar sehr
groß werden, ist aber gegenüber 3n3 bei sehr großen Werten von n recht
klein, d.h. es wird bei der Ermittlung des Grenzwertes keine Rolle spielen.
Entsprechendes gilt für den Nenner. D.h. die Folge wird gegen den
3
1
Quotienten: 3n
6n3 = 2 streben.