11. Übungsblatt

Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie
11. Übungsblatt
PD Dr. Dr. C. Schneider
P. Fink, M.Sc.
Aufgabe 1
Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Bemerkung aus dem Skript:
Bemerkung 11.13. Es gelten folgende Implikationen für p > q ≥ 1:
Lp - Konvergenz
Lq - Konvergenz
⇓
fast sichere Konvergenz =⇒ stochastische Kovergenz
⇓
schwache Konvergenz
=⇒
Es ist ausreichend zu zeigen, dass aus der stochastischen Konvergenz die Konvergenz in
Verteilungsfunktion (ein Spezialfall der schwachen Konvergenz) folgt.
Aufgabe 2
Beweisen Sie den folgenden Satz aus der Vorlesung:
Satz 11.16.
Sei (Xn )n∈N eine Folge paarweise unkorrelierter Zufallsvariabler mit E(Xn ) = 0 und
Var(Xn ) < ∞ für alle n ∈ N. Ist zudem (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen, für
welche gilt:
n
1 X
lim
Var(Xi ) = 0
n→∞ a 2
n i=1
so folgt
n
1 X
Xi = 0 ,
n→∞ an i=1
plim
d.h. die Folge
n
1 X
Xi
an i=1
!
konvergiert stochastisch gegen 0.
n∈N
Aufgabe 3
Es gelten die Voraussetzungen von Satz 11.16. Zeigen Sie, dass die Bedingung von Satz
11.16 mit an = n erfüllt ist, wenn die Zufallsvariablen identisch verteilt sind.
Aufgabe 4
Zeigen Sie, dass der Satz von de Moivre-Laplace (Satz 11.26 im Skript) ein Spezialfall des
Satzes von Lindeberg-Feller (Satz 11.25 im Skript) ist.
Übung: Mo 14–16h
–1–
Bearbeitung: 23.01.2017