Konvergenzbegriffe

Konvergenzbegriffe
Eine Zufallsvariable ist im Folgenden immer eine messbare Funktion X : (Ω, F ) → (R, B), wobei B die
σ–Algebra der Borel–Mengen auf R ist.
Definition K.1:
1) Konvergenz in Verteilung:
Xn →d X,
wenn Fn (x) → F (x) für jeden Stetigkeitspunkt x;
Äquivalent dazu ist: E[g(Xn )] → E[g(X)] für alle
beschränkten stetigen Funktionen auf R.
2) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit:
Xn →p X,
wenn P (|Xn − X| > ε) → 0 für alle ε > 0.
3) Konvergenz fast sicher:
Xn → X
f.s.,
wenn P (Xn → X) = 1.
Es gilt: 3) ⇒ 2) ⇒ 1).
Teilfolge.
Weiters 2) ⇒ 3) für eine
1
Definition K.2: Eine Familie C von Z.V. heisst
gleichmässig (oder auch gleichgradig) integrierbar, falls
zu jedem ε > 0 ein K ∈ [0, ∞) existiert, sodass
sup E[|X|1I{|X|>K} ] < ε.
X∈C
Definition K.3:
4) Konvergenz in Lp : Sei E[|Xn |p ] < ∞ für alle n.
Dann
Xn → X
in Lp ,
wenn E(|Xn − X|p ) → 0.
4) ⇔ 2) + {|Xn |p : n ≥ 1} gleichmässig integrierbar.
2
Konvergenz der Erwartungswerte:
Satz K.4:
1) Monotone Konvergenz: Wenn Xn ≥ 0 und Xn ↑ X
f.s., dann gilt limn→∞ EXn = EX.
2) Fatou: Wenn Xn ≥ c > −∞, dann gilt
E[lim inf Xn ] ≤ lim inf E[Xn ].
n
n
3) Dominierte Konvergenz: Wenn |Xn | ≤ Y , für alle
n, für eine integrierbare Z.V. Y und Xn → X f.s.,
dann gilt
lim E[Xn ] = E[X].
n
3