Numerische Behandlung linearer und semilinearer partieller

Numerische Behandlung linearer und
semilinearer partieller differentiell-algebraischer Systeme
mit Runge-Kutta-Methoden
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.)
vorgelegt der
Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technischen Fakultät
(mathematisch-naturwissenschaftlicher Bereich)
der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
von Kristian Debrabant
geb. am 12.12.1975 in Halberstadt
Gutachter:
1. Prof. Dr. K. Strehmel
2. Prof. Dr. M. Arnold
3. Prof. Dr. J. Lang
4. Prof. Dr. W. Lucht
Datum der Verteidigung: 15.10.2004
urn:nbn:de:gbv:3-000007691
[http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=nbn%3Ade%3Agbv%3A3-000007691]
An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. Dr. K. Strehmel für die kontinuierliche, sehr intensive
Betreuung meiner Arbeit und stets außergewöhnlich umfassende Unterstützung, die ich seit
Beginn meines Studiums in Anspruch nehmen durfte, meinen herzlichen Dank aussprechen.
In zahlreichen anregenden Diskussionen konnte ich von seiner Kompetenz, Geduld und Beharrlichkeit profitieren.
Mein besonderer Dank gilt auch allen Professoren und Mitarbeitern am Institut für Numerische Mathematik für das freundliche und kreative Arbeitsklima und ihre stets vorhandene
Diskussions- und Hilfsbereitschaft, allen voran Herrn Prof. Dr. W. Lucht.
Inhaltsverzeichnis
Symbolverzeichnis
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1 Einleitung
1
2 Mathematische Grundlagen
2.1 Differentiell-algebraische Gleichungssysteme . . . . . . .
2.1.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Der Differentiationsindex . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Lineare DA-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Weitere Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Kronecker-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Matrixfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Logarithmische Matrixnorm, Theorem von J. von
mumnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Neumann und Maxi. . . . . . . . . . . .
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3 Partielle DA-Systeme
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3.1 Beispiele partieller DA-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Semidiskretisierung der PDA-Systeme
4.1 Finitisierung des Ortsraumes und Diagonalisierung des diskretisierten Ortsdifferentialoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Räumlich eindimensionales PDA-System . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1.1 Dirichlet-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1.2 Periodische Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1.3 Neumann-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Verallgemeinerung auf räumlich mehrdimensionales PDA-System . . .
4.2 Konsistenz und Konvergenz der Semidiskretisierung linearer PDA-Systeme . .
5 Diskretisierung des MOL-DA-Systems
5.1 Zeitdiskretisierung durch Runge-Kutta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Konvergenz der Gesamtdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Einfluß von Störungen in den Runge-Kutta-Gleichungen bei linearen
PDA-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Konvergenzuntersuchungen für lineare PDA-Systeme . . . . . . . . . .
5.2.3 Konvergenz in Abhängigkeit vom Zeitindex . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Konvergenzuntersuchungen für semilineare PDA-Systeme . . . . . . .
5.2.5 Konvergenz bei Anwendung steifgenauer Runge-Kutta-Verfahren mit
singulärer Verfahrensmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Anwendung spezieller Runge-Kutta-Verfahren
85
6.1 Das implizite Euler-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Das dreistufige Radau-IIA-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Zusammenfassung und weiterführende Bemerkungen
99
A Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen
B Konvergenz für PDA-Systeme mit variablen Koeffizienten
B.1 Räumlich eindimensionales PDA-System . . . . . . . . . . . . . .
B.1.1 Dirichlet-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2 Periodische Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.3 Neumann-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Verallgemeinerung auf räumlich mehrdimensionales PDA-System
Literaturverzeichnis
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Symbolverzeichnis
: Einsvektor(1, . . . , 1)> ∈ INl
: Landausymbol: Für f : IR → IRn , g : IR → IR, g(t) 6= 0 für t 6= α ist
(t)k
f (t) = O(g(t)) für t → α, falls kf
|g(t)| < ∞ für t → α
0
: Nullmatrix
⊗
: Kronecker-Produkt
k·k
: diskrete L2 -Norm
k · k2
: euklidische Norm
k · k∞
: Unendlichnorm
k · kCn
: Vektornorm im Cn
k · kIRn
: Vektornorm im IRn
k · kM
: Maximumnorm
α~h
: lokaler Ortsdiskretisierungsfehler zum Zeitpunkt tm+1
A
: Verfahrensmatrix des Runge-Kutta-Verfahrens
b
: Wichtungsvektor des Runge-Kutta-Verfahrens
c
: Knotenvektor des Runge-Kutta-Verfahrens
−
C (C )
: Menge der komplexen Zahlen (mit nichtpositivem Realteil)
δm+1
: Residuenfehler des Runge-Kutta-Verfahrens zum Zeitpunkt tm+1
(i)
∆m+1
: Residuenfehler der i-ten Stufe des Runge-Kutta-Verfahrens in tm+1
∂Ω
: Rand von Ω
diagk {Ak } : Blockdiagonalmatrix mit den Blöcken Ak
MD
: Drazin-Inverse der quadratischen Matrix M
~ei
: i-ter Einheitsvektor
em+1
: globaler Gesamtdiskretisierungsfehler zum Zeitpunkt tm+1
ηm+1
: globaler Ortsdiskretisierungsfehler zum Zeitpunkt tm+1
hi
: Ortsschrittweite in xi -Richtung
Il
: l-dimensionale Einheitsmatrix
n
L2 (Ω, IR ) : Raum der über Ω quadratisch integrierbaren Funktionen mit Werten in IRn
λmax (A)
: Maximaler Eigenwert der Matrix A
µ2 [A]
: der euklidischen Vektornorm zugeordnete logarithmische Norm der Matrix A
IN
: Menge der natürlichen Zahlen {0, 1, . . .}
IN+
: Menge der positiven natürlichen Zahlen {1, 2, . . .}
νdt
: differentieller Zeitindex des PDA-Systems
νdx
: differentieller Ortsindex des PDA-Systems
Ω
: offener d-dimensionaler Quader
Ω~h
: äquidistantes Ortsgitter mit dem Parameter ~h, Diskretisierung von Ω
p
: Konsistenzordnung des Runge-Kutta-Verfahrens
q
: Stufenordnung des Runge-Kutta-Verfahrens
IR
: Menge der reellen Zahlen
Rez, Imz : Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl z
s
: Stufenzahl des Runge-Kutta-Verfahrens
τ
: Zeitschrittweite
Z
: Menge der ganzen Zahlen
1ll
O
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